، نسبت به انتقال عددی آن متعامد می باشد.
مجموعه توابعی که می توان آنها را در قالب بسط سری های در مقیاس یا وضوح پایین ارائه نمود شامل موارد مربوط به مقیاس های بالاتر هم می شوند.
تنها تابعی که می تواند در هر مقیاس ارائه شود تابع f(x)=0 است.
هر تابعی را باید در هر مقیاس با دقت دلخواه نمایش داد.
(۳) تعامد
بسط توابع (مثل ) پایه های یکامتعامد^[۹۱] و دومتعامد^[۹۲] را برای مجموعه توابع یک بعدی قابل اندازه گیری و قابل انتگرال گیری شکل می دهند. برای اینکه بتوان از عنوان پایه استفاده کرد باید یک مجموعه منحصربفرد از ضرایب بسط برای هر تابع قابل ارائه وجود داشته باشد. در مورد پایه دو متعامد داریم:

در این حالت از g تحت عنوان دوگان h یاد می شود. در تبدیل موجک پایه های دو متعامد با تابع مقیاس و تابع موجک ، تابع مقیاس و موجک دوگان به صورت و نشان داده
می شوند.[۱]
۲-۱۸- تجزیه مقدار منفرد
در سالهای اخیر، روش جدید پنهان نگاری در حوزه تبدیل به نام تجزیه مقدار منفرد (SVD) مورد مطالعه قرار گرفت. روش تجزیه مقدارهای منفرد یا تجزیه مقدار های تکین، توسط Beltrami در سال ۱۸۷۳ و Jordan در سال ۱۸۷۴ به طور مستقل کشف شد و توسط Ecjert و Young در سال ۱۹۳۰ برای
ماتریس های مستطیل شکل توسعه یافت. تا سال ۱۹۶۰ به دلیل نیاز به تکنیک های پیچیده عددی، از SVD به عنوان یک ابزار محاسباتی استفاده نمی شد. در سال های بعد، Gene Golub آن را به عنوان یک ابزار سودمند و اجراپذیر در موارد کاربردی گوناگون معرفی نمود. SVD یکی از مفیدترین ابزارهای جبر خطی برای کاربردهای مختلف مانند فشرده سازی تصویر و سایر زمینه های پردازش تصویر و سیگنال می باشد. بطور کلی طرح های پنهان نگاری مبتنی بر تجزیه مقدار منفرد با توجه به سادگی در پیاده سازی و برخی ویژگی های جذاب ریاضی، محبوبیت زیادی را به دست آورده اند. در این بخش شرح مختصری از SVD و مفاهیم مرتبط با آن و نقش آن در طرح های پنهان نگاری دیجیتال ارائه
می گردد.[۳۳,۱۱]
۲-۱۹- مقدار منفرد چیست؟
در ریاضیات مقدار تکین یا منفرد عملگری است که در فضای هیلبرت عمل کرده، و مربع ریشه ها مقادیر تکین یک ماتریس است. این مقادیر منفرد نامنفی و حقیقی هستند. مفهوم مقدار منفرد توسط ارهارد اشمیت در سال ۱۹۰۷ معرفی شده است.
برای یک ماتریس داریم «مقادیر منفرد A برابر است با جذر مقادیر ویژه ماتریس »؛ که به
ماتریس های و ماتریس مثبت معین یا نیمه معین می گویند. برای روشن شدن موضوع به مثال زیر دقت کنید:
فرض کنید ماتریس موجود است، لذا ماتریس مثبت معین آن بصورت زیر است:
مقدار ویژه و بردارهای ویژه ماتریس بصورت زیر بدست می آید:
و چون داریم «مقادیر منفرد A برابر است با جذر مقادیر ویژه ماتریس » پس:
مقادیر منفرد یک ماتریس کاربردهای زیادی دارد، از مقادیر منفرد برای بدست آوردن رتبه ماتریس و محاسبه عدد حالت ماتریس و تشخیص سیستم های بدحالت و سیستم های خوش حالت استفاده
می شود. همچنین از مقادیر منفرد برای تجزیه ماتریس ها استفاده می گردد که به این روش، روش تجزیه مقدارهای منفرد یا تجزیه مقدار منفرد بعنوان گامی اساسی در بسیاری از مباحث ریاضیات و مهندسی به شمار می آید. این روش اغلب کاربردهای شاخص گذاری خودکار مورد استفاده قرار می گیرد. اولین بار جهت بهبود نتایج در یافتن اسناد مرتبط با موتورهای جستجو مورد استفاده قرار گرفت. اما پس از آن محبوبیت فراوانی پیدا کرده و در موارد کاربردی مختلفی مانند دسته بندی صفحات وب و شناسایی موضوع متن و کاوش در وبلاگ های تجاری بکار گرفته شد.[۵]
۲-۲۰- تعریف تجزیه مقدار منفرد
SVD یک ابزار موثر برای تجزیه و تحلیل عددی ماتریس ها است. در تبدیل SVD یک ماتریس را می توان به سه ماتریس که هم اندازه با ماتریس اصلی هستند تجزیه نمود. از نظر جبر خطی، تصویر
آرایه ای از مولفه های عددی غیر منفی است که می توان آن را به عنوان ماتریس در نظر گرفت. اگر A یک تصویر با ابعاد مربعی باشد، ماتریس متناظر با آن را بصورت و با رتبه K نشان می دهند که در آن R نشان دهنده دامنه اعداد حقیقی است، بنابراین SVD ماتریس A به صورت زیر تعریف می شود:
که در آن در روی میدان K می باشد و هر ستون آن را بردارهای ویژه ماتریس تشکیل
می دهد و این بردارهای ویژه را بردار ویژه های چپ می گویند، و همچنین نشان دهنده ماتریسی است که هر ستون آن را بردارهای ویژه ماتریس را تشکیل می دهد. این بردارهای ویژه را بردارهای ویژه راست^[۹۳] می نامند و V^T نشان دهنده ترانهاده مزدوج V است که یک ماتریس یکانی n در n روی میدان K می باشد.
یک ماتریس قطری ^[۹۴] با درایه های نامنفی حقیقی بر روی قطر اصلی می باشد و هر درایه آن مقدار منفرد یا مقدار تکین ماتریس A را به صورت غیر نزولی در خود جای داده است. بنابراین تمامی درایه های غیر قطر اصلی آن صفر است:
عناصر مورب یعنی ها، ارزش های منفرد می باشند و به صورت زیر تعریف می شوند:
این روش فاکتورگیری «تجزیه مقدار های منفرد» نامیده می شود و درایه های ماتریس قطری S به عنوان مقدار های منفرد A شناخته می شوند.
لازم به ذکر است که مقادیر منفرد از تبدیل SVD دارای درجه آزادی می باشند و نمونه ی تصویر اصلی که بصورت SVD تجزیه شده را در زیر می بینید:
N
زمانیکه SVD برای یک ماتریس محاسبه می شود ابعاد آن با نگه داشتن K مقدار اول منفرد، کاهش
می یابد. این یعنی Error!Reference source not found به معادله زیر کاهش می یابد:
این فرایند را «کاهش بعد» می گوییم و را تقریب مرتبه K^[95] از ماتریس A می نامیم و K تا از بزرگترین مقادیر تکین ماتریس A به منظور ایجاد «مفاهیم پنهان» انتخاب می شوند و باعث حذف ابعاد نویز دار از ماتریس A خواهند شد.
SVD یک روش مطلوب برای تجزیه ماتریس ها در مفاهیم حداقل مربعات است که در آن حداکثر انرژی سیگنال به صورت چند ضریب ممکن بسته بندی می شود، همچنین SVD توانایی آن را دارد که با تغییرات در پارامترهای محلی آماری تصویر منطبق شود. [۳۴]
۲-۲۱- مثالی از SVD
برای روشن شدن تبدیل SVD، به مثال زیر توجه کنید:
فرض کنید ؛ اگر عملیات SVD بر روی ماتریس A اعمال شود، به سه ماتریس به شرح زیر تجزیه می شود؛ (برای این کار اگر در نرم افزار متلب دستور =svd(A) بکار ببرید خواهید دید که سه ماتریس زیر ایجاد می شوند).
در اینجا عناصر ماتریس قطری S ارزش ها منفرد هستند و ما می بینیم که این ارزش ها بصورت غیر صعودی مرتب شده اند:
۲-۲۲- خواص SVD در پردازش تصاویر دیجیتال
به طور کلی یک ماتریس حقیقی A ارزش های منفرد زیادی دارد. تعداد مقادیر منفرد غیر صفر برابر است با رتبه ماتریس. SVD ویژگی های بسیار خوبی از ریاضیات را داراست. استفاده از SVD در پردازش تصاویر دیجیتال مزایای بسیاری دارد که در زیر به برخی از آنها اشاره می شود [۳۵,۳۶]:
اندازه ماتریس های تبدیل SVD ثابت نیست و می تواند مربعی یا مستطیلی باشد.
ارزش های منفرد تصویر ثبات بسیار خوبی دارند، یعنی زمانی که تخریب کوچکی به تصویر اضافه شود، مقادیر منفرد آن به سرعت تغییر نمی کند.
ارزش های منفرد تصویر برخی خواص جبری آن را نشان می دهند که این خصوصیت ها ذاتاً قابل مشاهده نیست.
به عنوان مثال، شکل (۲-۹) (الف) و (ب) تصویر اصلی و تصویری که پس از اعمال فیلتر پایین گذر گاوسی با ابعاد ۹ ۹ را نشان می دهد. پنج مقدار منفرد از تصویر اصلی و تصویر فیلتر شده در جدول زیر قرار دارد که به وضوح نشان می دهد تغییرات در مقادیر منفرد بسیار کوچک بوده و همین مطلب نشان از ثبات خوب ارزش های منفرد دارد.