بنابراین  .

مجموعه  محدب و  باز است (۲.L)، پس  یک تابع محدب با دامنه  محدب و باز است. تابع روی  ، به طور پیوسته سه بار طبق تعریف تابع خود هماهنگی مشتق پذیر است (با توجه به (۳.L)).
برای اثبات خود هماهنگی  ، کافی است خواص مانع و نامساوی دیفرانسیلی (۲-۱) را بررسی کنیم.
خاصیت مانع به راحتی بدست می آید: اگر دنباله  همگرا به نقطه y و دنباله  از بالا کراندار باشد آنگاه توابع  از بالا روی Q بطور یکنواخت کراندار است، بنابراین حد نقطه ای  از بالا روی Q کراندار است. با توجه به تعریف  ، که  و چون  باز است نتیجه می گیریم که هر دنباله همگرای نقاط  در راستای  از بالا کراندار است و همگرا به نقاط درونی  است و این معادل خاصیت مانع است.
حال رابطه (۲-۱) را بررسی می کنیم. از (۳.L) برای هر h ثابتی داریم:

با مشتق گیری در x و در جهت g، بدست می آوریم:

قرار می دهیم  و بدست می آوریم:

در نتیجه داریم:

به ازای هر h و  که  .□
۹- وجود مینیمم مقدار-ب :
تابع F به مینیمم خودش روی Q می رسد اگر و تنها اگر  وجود داشته باشد بطوری که  و به ازای هر x (با خاصیت آخر) داریم:
(۲-۱۶)
علاوه بر این به ازای مینیمم مقدار دلخواه F روی  (یعنی  ) و x بزرگتر داریم:
(۲-۱۷)
برهان: واضح است که اگر F به مینیمم خودش روی Q برسد طبق (۷)،  متناهی است و  در هر مینیمم مقدار x.
برای اثبات عکس آن همان اثبات (۷) را داریم و می توان با در نظر گرفتن ناتباهیدگی F اثبات را داشته باشیم.
فرض کنیم x به گونه ای باشد که  و  . با توجه به (۳.L) داریم:
(۲-۱۸)  چون  است، صفر به بیضی باز دیکن به مرکز y تابع خود هماهنگ  تعلق دارد. در نتیجه در دامنه ی این تابع قرار می گیرد (با توجه به خاصیت ۲). از (۸) می دانیم که این دامنه شامل مقادیر گرادیان F در نقاط Q است: بنابراین  وجود دارد به طوریکه  . پس F به مینیمم مقدارش روی Q می رسد.
با توجه به رابطه (۲-۴) و (۲-۱۸) داریم:

چون  و  و با توجه به (۱.L) داریم:

و بنابراین:

حال قرار می دهیم:

با توجه به (۲-۱۸) و  ، بردار دلخواه z را در نظر می گیریم:

[از رابطه (۲-۳) داریم که  ]

با جایگذاری  ، می رسیم به :

که همان رابطه (۲-۱۷) است .□
۱۰) روش میراشده نیوتن^[۲۵] (همگرایی مرتبه دوم):
فرض کنیم  متناهی باشد و  . اگر  تکرار میراشده نیوتن x باشد آنگاه:
(۲-۱۹)
همچنین، اگر  آنگاه F به مینیمم مقدارش روی Q می رسد؛ و برای هر مینیمم مقدار F (یعنی  ) داریم:
(۲-۲۰)
(۲-۲۱)
برهان: برای اثبات (۲-۱۹) با توجه به اینکه e جهت نیوتون F در x است، قرار می دهیم:

تابع:

روی  بطور پیوسته دو بار مشتق پذیر است. بنابراین:

با توجه به نامساوی اساسی داریم :

( با توجه به (۲-۲) و  )

و: