جریمه نمودن کمبود با یک تابع غیرخطی تا توزیع کالاها به گونه ای صورت پذیرد که مقدار کمبود بیش از پیش کاهش یابد
در نظر گرفتن برخی معیارهای زنجیره تأمین سبز نظیر میزان انتشار گازهای گلخانه­ای در حمل و نقل و مدیریت پسماندهای کارخانجات تولیدی
تابع هدف مدل پیشنهادی فوق هزینه­ های کل سیستم تولیدی در نظر گرفته شده است و می­توان توابع هدف دیگری نظیر کمینه کردن پسماندها، کمینه کردن انتشار گازهای گلخانه ای و سایر اهداف معرفی شده در مدل­های پیشنهادی پیشین را نیز در نظر گرفت.
مشخصات کلی مدل پیشنهادی عبارت است از:
برنامه تاکتیکی-عملیاتی (میان مدت)/ زنجیره تأمین سه سطحی (تأمین کنندگان، کارخانه­های تولیدی، نقاط تقاضا)/ تک هدفه/ چند کالایی/چند دوره ای/چند سایتی/
عدم قطعیت: عدم قطعیت در تقاضا و بیان عدم قطعیت بر اساس مجموعه ­ای از سناریوهای گسسته
تصمیمات: برنامه­ ریزی مقدار و زمان سفارشات، برنامه­ ریزی نیروی انسانی، برنامه­ ریزی ارسال و دریافت، برنامه­ ریزی تولید در وقت عادی، اضافه کاری و برونسپاری، تنظیم مقادیر موجودی و سفارشات عقب افتاده، مدیریت پسماند، مدیریت گازهای گلخانه ای
روش مدل سازی: برنامه­ ریزی تصادفی پایدار دو مرحله ای
هدف: کمینه نمودن زیان کل سیستم تولیدی و زنجیره تأمین سبز با رعایت قوانین و مقررات زیست محیطی
روش حل: تبدیل مسئله تصادفی دو مرحله ای غیرخطی اولیه به یک مسئله خطی گسترده با بهره گرفتن از تکنیک­های تئوریک و روش برنامه­ ریزی خطی تفکیک^[۲۰۴]پذیر و استفاده از نرم افزار CPLEX
مثال عددی: تولید سناریو مبتنی بر تابع توزیع احتمال نرمال
تشریح مساله و فرضیات
در دهه اخیر یک آگاهی فزاینده ای نسبت به محیط زیست در جوامع مختلف شکل گرفته است. افراد بیشتری نسبت به مسائل زیست محیطی پیرامون خود نظیر گرم شدن زمین، استفاده بی رویه از مواد سمّی، کاهش منابع سوخت­های فسیلی حساسیت نشان می­ دهند. در پاسخ به این تهدیدات، سازمان­های مختلف اصول سبز^[۲۰۵] را در کارخانه هایشان به کار برده­اند نظیر استفاده از مواد اولیه دوستدار طبیعت، استفاده از کاغذهای بازیافتی در بسته بندی محصولات و کاهش استفاده از انرژی­های نفتی. اصول سبز در بسیاری از حوزه ­های کاری از جمله زنجیره تأمین گسترش یافته است. مدیریت زنجیره تأمین سبز در چند سال اخیر متولد شده است. اضافه نمودن مفهوم “سبز” به زنجیره تأمین پارادایم جدیدی را ایجاد کرده که در آن زنجیره تأمین یک ارتباط مستقیم با محیط پیرامون پیدا می­ کند. این موضوع بسیار جالب است چرا که سال ها این دو پدیده در تضاد با هم بودند (سریواستاوا^[۲۰۶] ۲۰۰۷). این ایده، بسیاری از مراحل ساخت از اولین تا آخرین مرحله چرخه عمر محصول، از طراحی محصول گرفته تا بازیافت را در بر می­گیرد (دیابات و گویندان^[۲۰۷](۲۰۱۱) ، وانگ و همکاران^[۲۰۸](۲۰۱۱) ، ژو و سارکیس(۲۰۱۱) ^[۲۰۹]، التایب و همکاران^[۲۱۰](۲۰۱۱) ، یه و چوآنگ^[۲۱۱](۲۰۱۱) ، بای و سارکیس^[۲۱۲](۲۰۱۰) ، شیو^[۲۱۳] (۲۰۰۸)). یکی از مسائل مهمی که در این حوزه بایستی مورد بررسی قرار بگیرد برنامه­ ریزی تولید کلی در زنجیره تأمین است.
بسیاری از مدل­های قبلی که زنجیره تأمین را مخاطب قرار داده اند یک تابع هزینه ای خطی ساده برای حمل و نقل را به عنوان قسمتی از تابع هدف مسئله در نظر گرفته اند (نگ و همکاران^[۲۱۴](۲۰۰۱) ، لیبلانک و همکاران^[۲۱۵](۲۰۰۴)). این رویکرد با فرض اینکه این هزینه ها قسمتی از قیمت فروش واحد محصول است (و بنابراین توسط تأمین کننده مدیریت می­ شود) و یا اینکه ثابت هستند و در هزینه­ های سفارش دهی مستترند، قابل توجیه است. علی رغم این حقیقت که خطی فرض نمودن تابع هزینه حمل و نقل از نقطه نظر سادگی و سهولت مواجهه، مطلوب به نظر می­رسد ولی در عمل از دقت مناسبی برخوردار نیست (کارتر و فرین^[۲۱۶]۱۹۹۶ ). برای مثال بوهمن^[۲۱۷] (۲۰۰۶) توضیح می­دهد که هزینه حمل و نقل وزن­های بین ۵۰۰ تا هزار پوند در مقایسه با حمل و نقل وزن­های کمتر از ۵۰۰ پوند تقریباً ۸٫۵% کمتر است. این هزینه برای اقلام با وزن بیشتر، با کاهش مجدد تقریبی ۲۲% مواجه می­ شود. توماس و گریفین^[۲۱۸](۱۹۹۶) ، ارتوگرال و همکاران^[۲۱۹](۲۰۰۷) ، هیل و گالبرث^[۲۲۰] (۲۰۰۸) اثر نادیده گرفتن پیچیدگی­های هزینه­ های حمل و نقل را در هزینه­ های کل سیستم تولیدی و زنجیره تأمین شناسایی نموده و بر این نکته که در ادبیات کمتر مورد توجه قرار گرفته است صحه گذاشته­اند. در مدل پیشنهادی فرض شده که امکان انتخاب وسیله حمل و نقل در بین چندین وسیله مختلف وجود دارد و هزینه حمل و نقل بستگی به هزینه ثابت و متغیر وسیله انتخاب شده تغییر می­ کند.

به دلیل سختی ناشی از مواجهه با توابع غیرخطی بسیاری از مدل­های برنامه­ ریزی تولید فرض می­ کنند که قیمت خرید مواد اولیه ثابت است. با این وجود این فرض چندان واقع بینانه و کاربردی نیست. فروشندگان اغلب تخفیفاتی را برای تهییج مشتریان برای سفارش مقادیر بیشتر، پیشنهاد می­ دهند. همین طور تولید کنندگان با افزایش میزان تولید، به سمت کاهش هزینه واحد تولید پیش می­روند. در مدل پیشنهادی یک برنامه­ ریزی تولید کلی غیر خطی توسعه یافته که قادر است توابع خطی، خطی شکسته، پله ای و غیر خطی را برای قیمت خرید محصولات در نظر بگیرد.
علاوه بر این، تابع هزینه کمبود به صورت غیر خطی در نظر گرفته شده است. این امر باعث می­ شود توزیع کنندگان به کاهش بیش از پیش کمبود روی بیاورند. به این ترتیب، تعداد بیشتر کمبود هزینه­ های بیشتر و بیشتری را به سیستم تولیدی تحمیل می­نماید. به عبارت بهتر شیب تابع جریمه کمبود با افزایش تعداد کمبودها بصورت تدریجی افزایش می­یابد.
در نهایت، مفهوم زنجیره تأمین سبز با لحاظ نمودن مسائل زیست محیطی در متغیر­های تصمیم انتخاب وسیله حمل و نقل، انتشار گازهای گلخانه ای و مدیریت پسماندهای تولیدی مد نظر قرار گرفته اند. در حقیقت یک ارتباط معکوس بین زمان تدارک و هزینه حمل و نقل و همچنین بین وسیله حمل و نقل و میزان انتشار گازهای گلخانه ای در نظر گرفته شده است. زمان تدارک کمتر، منجر به هزینه حمل و نقل بیشتر و انتشار گازهای گلخانه ای بیشتر خواهد شد. از طرفی هر محصولی با توجه به فرآیندهای تولیدی میزان مشخصی پسماندهای صنعتی تولید می­نماید. ممکن است کالای سودآوری پسماند بیشتری تولید نماید و برعکس. مدیریتِ ترکیب بندی نرخ تولید محصولات به نحوی که کل حجم پسماند تولیدی از مقادیر مشخص شده در قوانین حاکم بر کارخانجات متجاوز نگردد از جمله محدودیت­های کارخانه­های تولیدی است. از طرفی گستردگی زنجیره­های تأمین باعث شده، تولیدکنندگان و تأمین­کنندگان از منظر جغرافیایی در حاکمیت­های سیاسی مختلفی قرار گرفته باشند و تحت قوانین و مقررات زیست محیطی سخت گیرانه یا سهل گیرانه تری قرار داشته باشند.
در نهایت مدل غیر خطی پیشنهادی با بهره گرفتن از رویکردهای تئوری و عددی به یک مدل خطی تک هدفه برنامه­ ریزی تصادفی دو مرحله ای تبدیل شده و با بهره گرفتن از نرم افزار CPLEX 12.2 حل شده است.
با این توضیحات، یک زنجیره تأمین سه سطحی با J سایت، K تأمین کننده و I نقطه مشتری را در نظر بگیرید. برای پاسخگویی به تقاضای غیر قطعی مشتریان، هر کارخانه چندین قلم کالای مختلف تولید می­ کند که به N خانواده محصولات تقسیم شده اند که در اینجا محصول خوانده می­شوند. هر محصول تنها از یک ماده اولیه تشکیل یافته است که بایستی از تأمین کنندگان تهیه گردد. هزینه تولید (متغیر/ثابت) در کارخانه­های مختلف تولیدی می ­تواند متفاوت باشد. هزینه خرید مواد اولیه بسته به اندازه سفارش تغییر می­ کند به این معنی که هرچقدر اندازه سفارش بزرگتر باشد قیمت خرید مشمول تخفیف می­گردد. همچنین قیمت پایه خرید نیز از یک تأمین کننده به تأمین کننده دیگر می ­تواند متفاوت باشد. هر کارخانه دارای ظرفیت مشخصی برای انبارش و تولید است. ظرفیت تولید با ساعات کاری در دسترس کارکنان (عادی/اضافه کاری) بخش تولید محدود می­گردد. تأمین کنندگان، تولید کنندگان و نقاط تقاضا در یک گستره وسیع جغرافیایی پراکنده اند^[۲۲۱] و هزینه حمل و نقل (ثابت/متغیر) بسته به مسافت بین موجودیت ها و نوع وسیله حمل و نقل انتخاب شده تعیین می­ شود. با اطلاع از این که امکان انبار محصولات در نقاط مشتری فراهم است و نیز کمبود محصولات با یک تابع افزایشی غیرخطی جریمه می­ شود، مسئله اصلی تعیین؛
میزان محصولات تولید شده در وقت عادی/اضافه کاری و یا مقاطعه کاری برای پاسخگویی به تقاضای غیر قطعی مشتریان
میزان و زمان سفارش مواد اولیه به تأمین کنندگان برای پاسخگویی به احتیجات خالص کارخانجات با در نظر گرفتن زمان تدارک انعطاف پذیر
تعداد نیروی انسانی، تعداد استخدام و اخراج ها در هر دوره و در هر کارخانه
میزان محصولاتی که در هر دوره در نقاط مشتری و نیز کارخانجات انبار می­ شود
نوع وسایل حمل و نقل برای ارسال ها و دریافت ها
میزان تقاضایی که در هر دوره در نقاط مشتری بدون پاسخ می­ماند و به تعویق می­افتد
به نحوی که زیان کل سیستم تولیدی و زنجیره تأمین با توجه به قوانین و مقررات زیست محیطی نظیر انتشار گازهای گلخانه ای و مدیریت پسماندهای تولید، کمینه شود.
پارامترها و متغیرهای مسئله