در واقع زمان های پرش ترکیب تصادفی از نقاط روی می باشند و فرایند پواسون تعداد چنین نقاطی را در بازه ی ، شمارش می کند . این فرایند شمارشی ، یک اندازه روی بازه ی تعریف می کند .[۲۴] برای هر مجموعه ی اندازه پذیر تعریف می کنیم :

یک اندازه است، که مقادیر صحیح را اختیار می کند و با احتمال ۱، برای هر مجموعه ی کراندار ، متناهی است . باید توجه داشت که اندازه ی به بستگی دارد ، بنابراین یک اندازه ی تصادفی است . نرخ λ از فرایند پواسون، میانگین اندازه ی تصادفی را تعیین می کند :
جایی که یک اندازه لبگ از می باشد . را اندازه ی پرش تصادفی مرتبط ، با فرایند پواسون می نامند. [۲۴] می توان فرایند پواسون را به صورت زیر تعریف کرد :
با توجه به ارتباط بین اندازه ی و فرایند پواسون خواص زیر برای اندازه ی برقرار می باشند: [۲۴]
اگر یک اندازه پرش تصادفی متناظر با فرایند پواسون باشد. آن گاه برای بازه های دو بدو مجزای :
۱) تعداد پرش های فرایند پواسون در بازه‌ی است و یک متغیر تصادفی پواسون با پارامتر می‌باشد.
۲) برای دو بازه‌ی مجزا با ، متغیرهای تصادفی و مستقل هستند.
۳) در حالت کلی برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر ، دارای توزیع پواسون با پارامتر می‌باشد، که یک اندازه لبگ از است.[۲۴]
۱-۷-۲ تعریف: اندازه‌ی تصادفی متناظر با فرایند پواسون جبران شده‌ی ، به صورت زیر تعریف می‌شود:
از تعریف بالا نتیجه می‌شود که و .توجه کنید که برخلاف یک فرایند شمارشی نیست و یک اندازه‌ی علامتدار است.[۲۴]
اندازه‌ی یک اندازه‌ی تصادفی شمارشی برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر است. به وسیله‌ی زمان های و اندازه لبگ مشخص می‌شود. در این قسمت این ساختار را به حالت کلی تری توسعه خواهیم داد. در واقع را، به وسیله‌ی یک و اندازه لبگ را به وسیله‌ی هر اندازه‌ی رادون^[۸] روی
جایگزین خواهیم کرد.
۱-۷-۳ تعریف(اندازه‌ی رادون): گیریم باشد. روی ‌ یک اندازه ی رادون است، هرگاه برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر فشرده‌ی ، . [۲۴]
۱-۷-۴ تعریف(اندازه تصادفی پواسون): گیریم یک فضای احتمال باشد و و یک اندازه رادون مثبت روی باشد.( یک - جبر از زیر مجموعه‌های است) اندازه‌ی تصادفی پواسون روی ، با اندازه‌ی نرخ ، یک اندازه‌ی تصادفی با مقادیر صحیح است:
به طوری که:
۱) برای تقریباً همه جا ، یک اندازه ی رادن با مقادیر صحیح، روی باشد، یا به طور معادل: برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر کراندار با ، یک متغیر تصادفی با مقادیر صحیح باشد. . ۲) برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر یک متغیر تصادفی پواسون با پارامتر باشد، یعنی
۳) برای مجموعه‌‌های اندازه پذیر دو بدو مجزای ، متغیرهای مستقل از یکدیگر باشند.[۲۴]
۱-۷-۵ قضیه: برای هر اندازه‌ی رادون روی ، یک اندازه‌ی تصادفی پواسون روی با نرخ وجود دارد. اثبات: (قضیه ی ۲٫۱۴ [۲۴]) .
۱-۷-۶ تعریف: اندازه‌ی تصادفی پواسون جبران شده ی^[۹]  به صورت زیر تعریف می‌شود:
[۲۴]. با توجه به تعریف اندازه‌ی تصادفی پواسون ، برای مجموعه‌های فشرده‌ی دوبدوی مجزای ،ثابت می‌شود[۲۴] متغیرهای مستقل هستند و
در قسمت بعد به تعریف یکی از ابزارهای مالی یعنی اختیارمعاملات^[۱۰] خواهیم پرداخت.
۱-۸ اختیار معاملات
دگرگونی اقتصاد جهانی طی دهه‌ های اخیر و توسعه‌ی اقتصادی موجب ابداع یا تکامل ابزارهای متعدد مالی گردیده است. علاوه بر گسترش معاملات سنتی، دارایی‌های فیزیکی و مالی، مبادلات ابزار مشتقه شامل قراردادهای آتی^[۱۱]، قراردادهای اختیار معامله و قراردادهای معاوضه‌ای^[۱۲] شتاب روزافزونی یافته است. به نحوی که ارزش جاری قراردادهای مشتقه منتشر شده در بازار که دارای موقعیت باز می‌باشند، در طی سال ۲۰۰۴ در حدود ۵۰ تریلیون دلار برآورد شد (که تحقق یافته است) [۵]. هدف این پایان نامه ارزش گذاری اختیار معاملات می باشد. پس به تعریف این نوع مشتقات خواهیم پرداخت.
۱-۸-۱ تعریف (مشتق مالی) : مشتق مالی^[۱۳] یک ابزار مالی است که ارزش آن از سایر ابزارهای مالی مشتق می شود، به این معنی که قیمت آتی این ابزارها به قیمت آتی یک ابزار مالی پایه متصل شده است و علت نام گذاری این ابزارها به عنوان مشتقه نیز همین امر می باشد چرا که ارزش خود را از سایر دارایی ها همچون اوراق بهادار، نرخ سود، نرخ ارز، شاخص سهام و حتی کالای اساسی کسب می کنند و لذا تغییرات قیمت هر یک از مشتقات، تابعی از تغییرات قیمت دارایی پایه آن هاست. برای مثال اختیار معامله یک مشتق مالی است که توسط جبرانی^[۱۴] آن (تابعی از دارایی های بنیادین(سهام)، ) تعریف می شود..[۵] به طور کلی دو نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: [۳۶]

1. 1. قرارداد اختیار خرید^[۱۵]

1. 1. قرارداد اختیار فروش^[۱۶]

۱-۸-۲ تعریف( قرارداد اختیار خرید): این قرارداد به دارنده‌ی آن، این حق (نه اجبار) را می‌دهد تا دارایی را در تاریخ معینی و با قیمت مشخصی خریداری نماید. [۳۶]
۱-۸-۳ تعریف(قرارداد اختیار فروش): این قرارداد به دارنده‌ی آن، حق(نه اجبار) فروش یک دارایی در تاریخ
معین و با قیمت مشخص را می‌دهد. [۳۶]
تاریخی که قرارداد معین می‌کند، به «تاریخ انقضاء» یا « سررسید اختیارمعامله^[۱۷]» معروف است. قیمت تعیین شده
در قرارداد تحت عنوان «قیمت توافقی^[۱۸]» نامیده می‌شود [۳۶] .دو نوع مشتقات در مورد اختیار معاملات وجود دارد:
۱) مشتقات یا محصولات استاندارد^[۱۹] ۲) مشتقات یا محصولات غیر استاندارد^[۲۰] [۳۶] مشتقات استاندارد دارای ویژگی‌های استاندارد و معین است و معاملات آن ها از گرمی و روانی خوبی برخوردار می‌باشد. همچنین قیمت آن ها و میزان نوسان پذیری‌‌های ضمنی توسط بورس یا کارگزاران مطابق مقررات و قوانین اعلام می‌شود . این نوع محصولات دو دسته اند: آمریکایی یا اروپایی ( تفاوت این دو نوع اختیار معامله ربطی به منطقه‌ی جغرافیایی ندارد) [۳۶]
اختیار معامله‌ی آمریکایی^[۲۱] در هر زمان از طول دوره‌ی عمر قرارداد تا تاریخ انقضا یا در تاریخ سررسید قابل
اعمال است، ولی اختیار معامله‌ی اروپایی^[۲۲] تنها در تاریخ انقضای آن قابل اعمال است. [۳۶]
یکی از خصوصیات بازار مشتقات خارج از بورس، وجود تعداد زیادی از محصولات غیر استاندارد یا غیر متعارف است که توسط مهندسان مالی ابداع و ایجاد می‌شوند. هر چند که معمولاً این قبیل محصولات بخش کوچکی از سبد سرمایه گذاری را تشکیل می‌دهد، با این حال چون که عموماً سودآوری این محصولات بیشتر از محصولات استاندارد است، از اهمیت زیادی برای یک بانک(مؤسسه) سرمایه گذاری دارند. [۳۶]
در این قسمت به بررسی اختیار معاملات توأم با مانع^[۲۳] از محصولات غیر استاندارد، خواهیم پرداخت.
۱-۸-۴ تعریف(اختیار معاملات توأم با مانع): این نوع اختیار معاملات، اختیار معاملاتی هستند که جبرانی آن ها بستگی به این دارد آیا ارزش سرمایه‌ی بنیادین آن ها به سطح مشخصی در طول اعتبار آن می‌رسد یا نه. اختیار
معاملات توأم با مانع به دو دسته تقسیم می‌شوند:

1. 1. اختیار معاملات (ارزشمند)

1. 1. اختیار معاملات (بی ارزش) [۳۶]

در اختیار معاملات نوع اول هنگامی که قیمت دارایی پایه به سطح معینی برسد، قرارداد اختیار معامله را از آن به بعد می‌توان به اجرا گذارد. در اختیار معاملات نوع دوم، هنگامی که قیمت دارایی پایه به سطح معینی برسد، قرارداد اختیارمعامله بی ارزش می‌شود. [۳۶] چهار نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: ۱) یک اختیار خرید ، قرارداد اختیار خرید اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش می‌شود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده بالاتر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶]
۲) یک قرارداد اختیار خرید به طریق مشابه تعریف می‌شود، منتها سطح تعیین شده پایین تر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد اختیار معامله است.[۳۶]
۳) یک اختیار فروش ، قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش می‌شود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده بالاتر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶]
۴) یک قرارداد اختیار فروش ، قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش می‌شود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶] به همین ترتیب چهار نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: ۱) یک اختیار خرید یک قرارداد اختیار خرید اروپایی رسمی است که اجرای آن منوط به رسیدن قیمت دارایی به سطح معین می‌باشد. سطح معین در ابتدای قرارداد بیشتر از قیمت دارایی تعیین می‌شود.[۳۶] ۲) یک قرارداد اختیار خرید شبیه قرارداد فوق است با این تفاوت که سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در ابتدای انعقاد اختیار معامله می باشد [۳۶]. ۳) یک اختیار فروش یک قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که اجرای آن منوط به رسیدن قیمت دارایی به سطح معین می‌باشد. سطح معین در ابتدای قرارداد بیشتر از قیمت دارایی تعیین می‌شود.[۳۶]