( ۲-۶ )
p نشان­دهنده تعداد توابع هدفی است که باید بیشینه یا کمینه شود.
یک تفاوت برجسته بین بهینه­سازی چندهدفه وتک­هدفه این است که دربهینه­سازی چندهدفه علاوه بر فضای متغیر تصمیم معمولی توابع هدف نیز یک فضای چندبعدی را تشکیل می­ دهند که فضای هدف( Z ) نام دارد. برای هر جواب x در فضای متغیر تصمیم، یک نقطه در فضای تابع هدف وجود دارد به عبارت دیگر یک نگاشت بین بردار nبعدی جواب و بردار p بعدی هدف وجود دارد که با  نشان داده می شود. تصویر x یا همان ناحیه شدنی تحت نگاشت F در فضای هدف به صورت

( ۲-۷ )
تعریف می­ شود. شکل ( ۲-۸ ) ارتباط بین این دو فضا را نشان می­دهد.
شکل ( ۲-۷ ). مثالی از نگاشت بین فضای جواب وفضای توابع هدف
مشکل عمده در حل مسائل بهینه­سازی چندهدفه از آنجا ناشی می­ شود که جواب بهینه شدنی توابع هدف مختلف لزوماً با هم همراستا نبوده ودر مواردی با هم در تعارض^[۳۳]هستند. در چنین شرایطی نمی­ توان همه اهداف را به صورت همزمان بهینه کرد. در عوض باید به صورت تعادل رضایت بخشی^[۳۴] بین این جواب ها پرداخت. بنابراین مفاهیم بهینگی ویژه­ای در بهینه­سازی چندهدفه موردنیاز است. در مسائل بهینه­سازی تک­هدفه^[۳۵] مجموعه جواب­های شدنی به طور کامل وبراساس مقدار تابع هدف f قابلیت مرتب شدن دارند به گونه ­ای که در مورد جواب خواهیم داشتf(x₁)≤f(x₂) و یا f(x₂)≤f(x₁). در اینجا هدف یافتن جواب یا جواب­هایی است که تابع f را بیشینه می­ کند (برای یک مسئله ماکزیمم­سازی). هنگامی که مسأله بیش از یک هدف داشته باشد، X مجموعه ­ای کاملا مرتب^[۳۶] نیست، بلکه در حالت کلی یک مجموعه مرتب جزئی^[۳۷] است. این مفهوم در ۲-۶-الف نشان داده شده است. این شکل مربوط به مسأله کمینه­سازی همزمان دو هدف f₁ و f₂ است. با توجه به شکل ۲-۶-ب جواب مربوط به نقطه B نسبت به جواب نقاط ناحیه ۳ ارجح است، چراکه همزمان مقادیر f₁ وf₂ بزرگتری دارد. همچنین می توان گفت که نقطه B مغلوب نقاط ناحیه ۱ خواهد شد، چراکه همزمان مقادیر f₁ و f₂ کوچکتری دارد. نقطه B نسبت به نواحی ۲ و ۴ قابل­مقایسه نیست، چراکه گرچه یکی از آنها از نظر یکی از توابع هدف برتر باشد نسبت به تابع هدف دیگر بدتر است وبرعکس.

شکل ( ۲-۸ ). الف- بیان تصویری بهینگی پارتو در فضای هدف. ب- روابط بین جواب ها در فضای هدف ]۲۴[
۲-۷-۲- مفهوم بهینگی پارتو و مجموعه غیرمغلوب
براساس مفهوم چیرگی می توان معیار بهینگی در مسائل چندهدفه را تعریف نمود. نقاط توخالی که در شکل ۲-۹ رسم شده ­اند ویژگی منحصربه­فردی نسبت به سایر نقاط در فضای تابع هدف دارند وآن این است که این نقاط مغلوب هیچ جواب دیگری نیستند، بنابراین می­توان آنها را بهینه دانست. از طرف دیگر نمی­ توان هیچ یک از تابع هدف این نقاط را بهبود داد بدون اینکه مقدار تابع هدف دیگر آنها را بدتر نمود. به چنین جواب­هایی پارتو ^[۳۸] گویند.
تعریف۲-۱- بهینگی پارتو. بردار تصمیم نسبت به مجموعه نامغلوب^[۳۹] خوانده می­ شود، اگر وتنها اگر:
تعریف ۲-۲- مجموعه غیرمغلوب. به مجموعه ­ای از جواب­های موجود در فضای تصمیم که بر جواب­های دیگر مسلط هستند و بر همدیگر مسلط نیستند مجموعه غیرمغلوب می­گویند.
نقاط توخالی در شکل ۲-۹ نماینده مجموعه جواب­های پارتو، کارا ویا غیرمغلوب هستند. این نقاط نسبت به یکدیگر بی­تفاوت هستند. در اینجا تفاوت اصلی مسائل چندهدفه با مسائل تک­هدفه آشکار می­ شود. مسائل چندهدفه محدود به یک جواب بهینه واحد نیستند بلکه در آنها مجموعه ­ای از جواب­های بهینه (پارتو) وجود دارد. هیچ یک از این جواب­ها را نمی­ توان از دیگری برتر دانست، مگر اینکه ترجیحات تصمیم­گیر تعریف شده باشند.
۲-۷-۳- روش­های حل مسائل بهینه­سازی چندهدفه
روش­های حل بهینه­سازی چندهدفه را می­توان به دو دسته کلی روش­های تک­جوابی وروش­های مبنی بر جبهه پارتو تقسیم نمود. در روش­های تک­جوابی به کمک روش­های گوناگون از جمله روش­های وزن­دهی، تعیین آرمان، استفاده از تابع مطلوبیت، رویکرد مرحله­ ای وغیره مسأله چندهدفه موجود را به یک مسئله تک­هدفه تبدیل می­ کنند ونهایتاً مسأله حاصل را به راحتی می­توان به کمک نرم­افزارهای حل مسائل بهینه­سازی حل نمود. این گونه رویکردها تنها یک جواب که در واقع نقطه تعادلی برای توابع هدف گوناگون است، به­دست می­ دهند. ازجمله این روش­ها می­توان به روش مجموع وزنی^[۴۰]، روش برنامه­ ریزی آرمانی^[۴۱] و روش برنامه­ ریزی آرمانی فازی^[۴۲]، اشاره کرد که در ادامه به توضیح مختصری راجع به آنها می­پردازیم.
۲-۷-۳-۱- روش مجموع وزنی
در این روش مجموعه اهداف از طریق مجموع وزنی هر هدف، به یک هدف واحد تبدیل می­شوند. مزیت این روش آن است که تصمیم­گیرنده از انعطاف­پذیری لازم جهت اختصاص اوزان توسط کاربر کاملاً ذهنی بوده وصرفاً توافقی در خصوص شیوه حل است که تضمینی برای غیرمغلوب­بودن جواب­ها ارائه نمی­کند.
( ۲-۸ )
گفتنی است که روش­های وزنی دیگری هم وجود دارد که روش فوق عمومی­ترین روش است. این روش­ها عبارتند از روش کمینه­کردن حداکثر وزنی، روش جمع نمایی و روش ضرب موزون.
۲-۷-۳-۲- روش برنامه­ ریزی آرمانی
مبنای کار این روش چنین است که برای هر کدام از اهداف، عدد مشخصی به عنوان آرمان تعیین وتابع هدف مربوط به آن فرموله می­گردد. آن­گاه جوابی جستجو می­ شود که مجموع (وزنی) انحراف هر هدف نسبت به آرمانی که به­ازای همان هدف تعیین شده است را حداقل نماید. برای بیان ریاضی این مطلب فرض کنید C ماتریس ضرایب تابع هدف، بردار g آرمان تابع هدف باشد، اندیس n تعداد متغیرهاو p تعداد توابع هدف است که در جستجوی جوابی هستیم که تا حد امکان دستیابی به کلیه آرمان­های زیر را میسرکند.
( ۲-۹ )
مزیت این روش بر مجموع وزنی، اجتناب از مشکلات عملی ناشی از تخصیص وتعدیل اوزان ونیز ناتوانی در نظر گرفتن اهداف در سطوح اولویت مختلف است. ایراد عمده این روش، ارائه یک جواب یگانه است که در صورت عدم جلب رضایت طراح، بایستی مجدداً مدل را با مجموعه پارامتر دیگری حل نمود. از دیگر مشکلات این روش می­توان به دشواربودن تعیین سطوح آرمان­ها اشاره کرد. در عمل نیز تعیین این­که دقیقاً چه میزان آرمان را برای اهداف مختلف تعیین کنیم امری دشوار خواهدبود.
۲-۷-۳-۳- روش برنامه­ ریزی آرمانی فازی
این روش با مطرح کردن مفهومی به نام تابع عضویت^[۴۳] یا تابع مطلوبیت^[۴۴] برای هر یک از توابع، و سپس با ماکزیمم­کردن آن برای تک­تک اهداف به دنبال نزدیک­کردن هر یک از اهداف به مقدار بهینه خود است. این روش اولین بار توسط زیمرمن ]۲۵[ تحت عنوان برنامه­ ریزی آرمانی فازی مطرح شد. تابع عضویت برای یک مسأله ماکزیمم­سازی به صورت زیر محاسبه می­ شود:
( ۲-۱۰ )
در رابطه فوق و به ترتیب مقادیر مینیمم وماکزیمم تابع هدف را نشان می­دهد.تابع عضویت برای یک مسأله کمینه­سازی نیز به صورت زیر محاسبه می­ شود:
( ۲-۱۱ )
در واقع برنامه­ ریزی آرمانی فازی خود به خود مشکل انتخاب سطوح آرمان در برنامه­ ریزی آرمانی را هموار می­سازد چراکه در این روش معمولاً هیچ­گونه انتخاب اولیه­ای توسط تصمیم­گیرنده انجام نمی­ شود و تنها خود تابع هدف به کمک مقدار ماکزیمم و مینیمم خود، تابع عضویت خود را می­سازد. در یک مسأله ماکزیمم­سازی هرگاه تابع هدف مقدار ماکزیمم خود را انتخاب کند، تابع عضویت آن هربار یک خواهد شد و هروقت تابع هدف مقدار کمینه خود رابگیرد، تابع عضویت آن برابر صفر خواهد شد. برای مسأله کمینه­سازی دقیقا جریان عکس مطلبی است که توضیح داده شد. یعنی هروقت تابع هدف مقدار کمینه خود را بگیرد، مقدار تابع­عضویت آن یک و هروقت مقدار ماکزیمم خودرا بگیرد، تابع عضویت آن برابرصفر خواهد شد. مدل ریاضی برنامه­ ریزی آرمانی فازی که به دنبال ماکزیمم­کردن توابع عضویت مختلف است به صورت زیر به­دست خواهدآمد:
( ۲-۱۲ )
در مدل فوق(x) بسته به این­که مسأله ماکزیمم­سازی و یا مینیمم­سازی است طبق روابط (۲-۱۰ )و(۲-۱۱) محاسبه می­ شود.
سایر روش­های حل مسائل بهینه­سازی شامل رویکردهای بهینه­سازی مبنی بر جبهه پارتو هستند. برخلاف روش­های قبل که تنها یک خروجی به عنوان جواب نمایش داده می­ شود، این روش­ها مجموعه ­ای از جواب­ها را تحت عنوان جبهه پارتو به تصمیم­گیرنده ارائه می­ کنند. همان­طور که گفته شد لبه­های پارتو هیچ­گونه برتری نسبت به یکدیگر ندارند و تصمیم­گیرنده با توجه به شرایط موجود بهترین گزینه را با توجه به معیارهای شخصی خود از بین آنها انتخاب می­ کند. روش­های بهینه­سازی چندهدفه مبنی بر جبهه پارتو را می­توان به دو دسته روش­های دقیق و روش­های تکاملی دسته­بندی کرد. روش­های دقیق معمولاً منجر به جبهه بهینه پارتو می­شوند، منتهی مشکل عمده این­گونه روش­ها زمان­بربودن آنها است، چرا که برای به­دست آوردن هر لبه پارتو باید یک مدل ریاضی توسط نرم افزارهای بهینه­سازی موجود در بازار نظیر GAMs ، Lingo ،Cplex وغیره حل شود. اما از طرف دیگر روش­های تکاملی زمان محاسباتی بسیار کوچک­تری دارند وبرخلاف روش­های دقیق که تکرارشونده هستند، این روش­ها در یک بار اجرا کل جبهه پارتو را به­دست می ­آورد وبه مرور زمان و اعمال عملگرهای بهبوددهنده این جبهه پارتو اولیه را به سمت جبهه بهینه پارتو میل می­دهد. از جمله معروف­ترین روش­های دقیق حل مسائل بهینه­سازی چندهدفه بر پایه جبهه پارتو می­توان به روش اپسیلون- محدودیت و مدل تقویت­شده آن اشاره کرد. این روش به اختصار در ادامه توضیح داده خواهد شد.
۲-۷-۳-۴- روش اپسیلون- محدودیت
در این روش که توسط هایمس وهمکاران]۲۶[ ارائه شد، یکی از توابع هدف به­ طور دلخواه انتخاب و بهینه می­ شود در حالی که بقیه توابع هدف به­ صورت محدودیت  به مدل اضافه می­شوند. با تغییرکردن مقدار حد بالا از یک تکرار به تکرار بعد، یک مجموعه جبهه پارتو ایجاد خواهد شد.

( ۲-۱۳ )
با تغییر پارامتری مقادیر سمت راست توابع هدف محدود شده ، جواب­های کارا محاسبه می­گردد.
۲-۸- الگوریتم ژنتیک GA ^[۴۵]
محدوده کاری الگوریتم ژنتیک بسیار وسیع می­باشد و هرروز با پیشرفت روزافزون علوم و تکنولوژی، استفاده از این روش در بهینه­سازی و حل مسائل بسیار گسترش یافته­است. الگوریتم ژنتیک یکی از زیرمجموعه­های الگوریتم­های تکامل­یافته می­باشد. الگوریتم ژنتیک برروی یک سری از جواب­های مسأله به امید به­دست­آوردن جواب­های بهتر قانون بقای بهترین را اعمال می­ کند. درهر نسل به کمک فرایند انتخابی متناسب با ارزش جواب­ها و تولیدمثل جواب­های انتخاب شده به کمک عملگرهایی که از ژنتیک طبیعی تقلید شده ­اند، تقریب­های بهتری از جواب نهایی به­دست می ­آید. این فرایند باعث می­ شود که نسل­های جدید با شرایط مسأله سازگارتر باشد.
شکل ( ۲-۹ ). تقسیم ­بندی استراتژی­ های جستجو
الگوریتم تکاملی، برای اولین بار در سال ۱۹۶۰ توسط آقای ریچنبرگ ارائه شد که تحقیق وی در مورد استراتژی تکامل بود. بعدها نظریه او توسط محققان زیادی مورد بررسی قرارگرفت تا اینکه الگوریتم ژنتیک (GA ) توسط جان هولند در سال ۱۹۷۵ در دانشگاه میشیگان ارائه شد. در سال ۱۹۹۲ نیز جان کوزا از الگوریتم ژنتیک (GA ) برای حل و بهینه­سازی مسائل مهندسی پیشرفته استفاده کرد و توانست برای اولین بار روند الگوریتم ژنتیک را به زبان کامپیوتر درآورد و برای آن یک زبان برنامه­نویسی ابداع کند که به این روش برنامه­نویسی، برنامه نویسی ژنتیک (GP )^[۴۶] گویند و نرم افزاری که توسط وی ابداع گردید به نرم افزار LISP مشهور است که هم­اکنون نیز این نرم افزار کاربرد زیادی در حل و بهینه­سازی مسائل مهندسی پیداکرده­است.
۲-۸-۱- اجزای الگوریتم ژنتیک
به طور کلی الگوریتم‏های ژنتیکی از اجزای زیر تشکیل می‏شوند:
۱) کروموزوم^[۴۷]
در الگوریتم‏های ژنتیکی، هر کروموزوم نشان­دهنده یک نقطه در فضای جستجو و یک راه‏حل ممکن برای مسأله موردنظر است. خود کروموزوم‏ها (راه­حل‏ها) از تعداد ثابتی ژن^[۴۸] (متغیر) تشکیل می‏شوند. برای نمایش کروموزوم‏ها، معمولاً از کدگذاری‏های دودویی (رشته‏های بیتی) استفاده می‏شود.
۲) جمعیت^[۴۹]