که r_x سیگنال مرجع ورودی بوده و شامل می‌باشد و همچنین ماتریس مرجع ورودی بوده و شامل می‌باشد. در ادامه ماتریس معادلات افزوده شده ماتریس‌های ورودی و خروجی افزوده شده با علائم ، و نشان داده خواهند شد. قانون کنترلی مورد استفاده عبارت خواهد بود از:
(۴٫۲۰)
که این قانون در مورد فیدبک تمام حالت به اضافه انتگرال‌گیر برابر خواهد بود با:
که N_x ماتریسی است که وظیفه مشخص کردن میزان تاثیر سیگنال مرجع بر روی هر یک از حالات را بر عهده دارد و در این سیستم به دلیل نحوه خاص انتخاب حالت بصورت تعیین می‌گردد. نمایش فضای حالت سیستم حلقه بسته نهایی بصورت زیر خواهد بود:
(۴٫۲۱)
سیستم ارائه شده در معادلات ۱۲-۴ در شکل (۱-۴) نشان داده شده است. همانطور که گفته شد این سیستم ساده‌سازی شده سیستم اصلی نشان داده شده در شکل (۱-۳) می‌باشد.
شکل ۱-۴- نمایش سیستم خطی شده به منظور نشان دادن حرکات عمودی پلتفرم
در این شکل معادلات حالت پس از جایگذاری بصورت زیر می‌باشند.
(۲۸-۴)
(۲۹-۴)
(۳۰-۴)
(۳۱-۴)
برای مشخص کردن میزان دقت سیستم خطی‌سازی شده خروجی سیستم اصلی و خروجی در شکل‌های ۲-۴ و ۳-۴ سیستم خطی‌سازی شده با یکدیگر مقایسه گردیده‌اند.

شکل ۲-۴- خروجی زاویه در سیستم اصلی و سیستم خطی‌سازی شده نسبت به سیگنال پله اعمالی  به گیمبال ۱

شکل ۳-۴- خروجی زاویه در سیستم اصلی و سیستم خطی‌سازی شده سیگنال پله اعمالی  به گیمبال ۱
همانطور که در شکل‌های ۲-۴ و ۳-۴ مشخص می‌باشد خروجی سیستم خطی‌سازی شده در حد مطلوبی با خروجی سیستم اصلی مطابقت دارد.
۳-۴- کنترل‌پذیری
برای تشخیص قابلیت کنترل‌پذیری سیستم مورد نظر در ابتدا ماتریس کنترل‌پذیری را تعریف می­کنیم:
(۴٫۲۲)
در صورتیکه ماتریس C تکین نباشد می‌توان نتیجه گرفت که سیستم مورد نظر کنترل‌پذیر می‌باشد. برای این منظور رتبه ماتریس C باید برابر با n باشد که n همان سایز ماتریس و برابر با تعداد قطب‌هایی است که باید تعیین مکان گردند. با جایگذاری معادلات حالت در ماتریس C به ازاء خواهیم داشت:
(۴٫۲۳)
در این حالت مشاهده می‌گردد که رتبه ماتریس C برابر با ۲ بوده که نتیجه می‌دهد هر دو قطب سیستم کنترل‌پذیر می‌باشند. با کمی محاسبات ریاضی و آزمایش کردن زوایای مختلف، مشاهده می­ شود که دربازه سیستم کنترل‌پذیر حالت می‌باشد.
۴-۴- طراحی کنترل کننده
در این پایان‌نامه سعی شده است یک کنترل­ کننده بهینه و یک کنترلر ساده و کارا مانند کنترل­ کننده PID مورد استفاده و مقایسه قرار گیرند.کنترل بهینه مورد استفاده کنترل کننده LQR می­باشد.
۱-۴-۴- کنترل کننده PID
شکل ۴-۴ روش به کارگیری یک کنترل کننده PID را نشان می‌دهد. در صورت در اختیار داشتن مدل ریاضی سیستم اصلی روش‌های مختلفی برای بدست آوردن ضرایب PID برای کنترل پاسخ حالت دائم، بالازدگی‌ها و … وجود دارد. ولی اگر سیستم آنقدر پیچیده باشد که مدل ریاضی آن را نتوان بدست آورد روش آنالیتیکی برای تنظیم پارامترهای کنترل کننده وجود ندارد و بنابراین باید از روش‌های تجربی برای تنظیم این پارامتر استفاده نمود.
شکل ۴-۴ - کنترل کننده PID
روند انتخاب ضرایب مناسب کنترل کننده برای رسیدن به اهداف کنترلی مطلوب به عنوان روند تنظیم پارامتر شناخته می‌شود. زیگلر و نیکولز روشی برای تنظیم پارامترهای PID کنترل کننده طراحی کرده‌اند که براساس پاسخ پله سیستم و همچنین ضریب k_p می‌باشد. ضریب k_p پایداری مجانبی را در زمان استفاده از کنترل کننده تناسبی نتیجه خواهد داد. از این روش زمانی استفاده می‌گردد که مدل ریاضی از سیستم در اختیار نداشته باشیم.
۲-۴-۴- روش زیگلر- نیکولز برای تنظیم پارامترهای کنترل کننده PID
در این روش ضریب تناسبی k_p، ثابت زمانی انتگرال­گیر T_id و ثابت زمانی مشتق­گیر T_d براساس پاسخ پله سیستم طراحی می‌گردد. به طور کلی دو روش برای تنظیم این پارامترها به روش زیگلر- نیکولز وجود دارد که به طور خلاصه در ادامه خواهد آمد.
- روش اول: دراین روش ابتدا پاسخ سیستم را به ورودی پله واحد از سیستم دریافت می‌کنیم (مطابق شکل ۵-۴ ). در صورتیکه سیستم فاقد قطب در مبداء و یا قطب‌های مزدوج مختلط باشد فرم پاسخ مطابق شکل خواهد بود. در این گونه پاسخ با توجه به دو پارامتر زمان تاخیرL و ثابت زمانی T قابل بررسی و ترسیم می­باشند، زمان تاخیر L و ثابت زمانی T نحوه بدست آوردن آنها در شکل ۲-۴ نشان داده شده است.
Output
Time
T
L
Tangent line and inflection point
K
۰
شکل ۵-۴ پاسخ پله فوق میرا
در این حالت تابع تبدیل سیستم را می‌توان بصورت تابع تبدیل مرتبه اول زیر تخمین زد:
(۲۴-۴)
زیگلر و نیکولز پیشنهاد کردند که ضرایب K_p ، T_i و T_d بصورت جدول ۱-۴ تعیین گردد.