روابط (۴-۱۴۱) و (۴-۱۲۴) برای محاسبه پراکندگی و خاموشی از یک کره به هر شکل قابل استفاده می­باشد اما شکل و به نوع تغییرات بستگی دارد. در این قسمت، یک کره همگن را که با لایه­ای یکنواخت از ماده­ای با ثابت دی­الکتریک متفاوت پوشیده شده است را در نظر می­گیریم. میدان­های داخل و پراکنده شده در روابط (۴-۱۲۱) و (۴-۱۲۴) داده شده ­اند. محدود بودن مقادیر و در بازه بسط میدان­ها در این بازه را به صورت زیر بیان می­ کند:

شرایط مرزی نیز به صورت زیر داده می­شوند:
با اعمال این شرایط مرزی و محاسبات، ضرایب بسط به صورت زیر به دست می­آیند:
که در آن و به صورت زیر تعریف شده ­اند:
در این روابط و به ترتیب نسبت ضرایب شکست داخل کره و لایه پوشاننده به ضریب شکست محیط اطراف می­باشد. می­باشد و توابعی که در این روابط به کار برده شده ­اند به صورت زیر می­باشند:
۴-۵- اصل هویگنس:
برای دو بردار و که در حجم تعریف می­شوند، تئوری گرین برداری به صورت زیر می­باشد:
در این رابطه S سطحی است که حجم V را محصور کرده است و بردار یکه عمود بر سطح S و به سمت خارج از حجم V می­باشد. با توجه به شکل (۴-۵) پراکندگی موج الکترومغناطیسی به وسیله منبع J در ناحیه ۰ با گذردهی و تراوایی قرار دارد را در نظر می­گیریم. ناحیه ۱ نیز با گذردهی و تراوایی می­باشد (شکل ۴-۵). سطح دربرگیرنده حجم با بردار عمود است و سطحی در بی­نهایت با بردار عمود می­باشد که فضای اطراف را محصور کرده است. برای این شرایط، معادلات ماکسول به صورت زیر برقرار است:
که شرایط مرزی به صورت و روی سطح برقرار است.
شکل ۴- ۵: پراکندگی الکترومغناطیسی بوسیله منبع Jدر داخل حجم فرضی
تابع گرین فضای آزاد، در معادله زیر صدق می­ کند:
که در آن می ­تواند در هر یک از نواحی ۰ یا ۱ باشد. حال فرض می­کنیم که در رابطه مربوط به
تئوری گرین برداری و باشد که در آن a یک بردار ثابت دلخواه می­باشد. بنابراین رابطه­ای به شکل زیر برای آن­ها برقرار است:
انتگرال سطحی بر روی سطح به دلیل شرط تابش صفر می­ شود. با بهره گرفتن از روابط (۴-۱۵۵) و (۴-۱۵۶) و قرار دادن در رابطه (۴-۱۵۷) به رابطه زیر می­رسیم:
تابع دلتای دیراک تنها وقتی صادق است که در ناحیه ۰ باشد. از طرفی با توجه به تقارن تابع گرین، می­توان به رابطه زیر رسید:
بردار ثابت aمی ­تواند از دو طرف این معادله کنار گذاشته شود. بنابراین جمله اول سمت راست
معادله جدید، میدان تولید شده به وسیله منبع جریان در یک محیط بدون مرز با گذردهی و
تراوایی می­باشد و می ­تواند متناظر با میدان برخوردی باشد:
در رابطه بالا، رابطه برای حالت به عنوان اصل هویگنس شناخته می­ شود و میدان الکتریکی پراکنده شده را در جملاتی از میدان­های الکتریکی و مغناطیسی مماس بر سطح پراکننده بیان می­ کند. از طرفی رابطه برای حالت به عنوان تئوری خاموشی شناخته می­ شود و بیان کننده تابش از میدان سطحی با بهره گرفتن از به عنوان منتشر کننده در حجم و خاموش کننده میدان برخوردی می­باشد. بنابراین برای ناحیه ، میدان پراکنده شده به صورت زیر است:
به همین شکل می­توان از تابع گرین دوتایی متناظر با محیط استفاده و تئوری گرین برداری را برای ناحیه با در نظر گرفتن و استفاده کرد. تابع گرین دوتایی در معادلات زیر صدق می­ کند:
که در آن می­باشد. این بار منبع جریان در محیط وجود ندارد و بنابراین جمله در روابط وجود نخواهد داشت. با تکرار محاسباتی شبیه به قبل داریم:
دو معادله تئوری خاموشی می­توانند به صورت زیر باز نویسی شوند:
معادلات (۴-۱۶۵) و (۴-۱۶۶) می­توانند به صورت معادلات انتگرالی جفت شده برای پیدا کردن میدان­های سطحی مماسی که از طریق اعمال شرایط مرزی بر سطح پیوسته می­باشند، استفاده شوند.
در رابطه (۴-۱۶۰)که از اصل هویگنس به دست آمد، میدان­های مغناطیسی و الکتریکی کل به عنوان میدان­های سطحی استفاده شدند. همچنین در نوشتن این رابطه ما میدان فرودی را به صورت زیر تعریف کردیم:
همچنین در ناحیه ۰ روابط زیر برقرار است:
در استفاده از تئوری گرین کروی برداری یعنی معادلات (۴-۱۵۷) تا (۴-۱۶۰) اگر به جای از استفاده شود، با بهره گرفتن از معادله (۴-۱۶۷) به رابطه زیر می­رسیم:
حال اگر رابطه (۴-۱۷۰) را از رابطه (۴-۱۶۰) کم کنیم، با بهره گرفتن از روابط (۴-۱۶۸) و (۴-۱۶۹) به رابطه زیر می­رسیم:
قسمت بالایی معادله (۴-۱۷۱)، اصل هویگنس را در قالب جملات میدان سطحی موج پراکنده شده بیان می­ کند.
اصل هویگنس بیشتر در فواصل دور و برای محاسبه موج پراکنده شده از میدان­های سطحی به کار برده می­ شود. اگر یک سیستم مختصات را در میدان دور تشکیل دهند:
بنابراین در میدان دور،و به رابطه زیر می­رسیم:
و بنابراین میدان پراکنده شده در محیط دور، با بهره گرفتن از اصل هویگنس و داشتن میدان­های سطحی به صورت زیر بیان می­ شود:
۴-۶- محاسبه سطح مقطع خاموشی برای استوانه محدود
۴-۶-۱- امواج استوانه­ای:
در این بخش نیز مشابه با روشی که تئوری می بیان شد، به دنبال یافتن میدان­های الکتریکی و مغناطیسی یک استوانه نامحدود خواهیم بود. مطابق با آنجه که در قسمت ۴-۴ ارائه شد، ابتدا باید به دنبال حل معادله موج اسکالر این بار در دستگاه مختصات استوانه­ای و یافتن هارمونیک­های برداری برای این دستگاه مختصات و بسط میدان­ها بر حسب این هارمونیک­ها باشیم. معادله موج اسکالر در دستگاه مختصات استوانه­ای به صورت زیر نوشته می­ شود:
با بهره گرفتن از روش جداسازی متغیرها و در نظر گرفتن به صورت زیر:
آن­گاه جوابهایی که در مبدا منظم می­باشند به صورت زیر تعریف می­شوند:
که در آن یک عدد صحیح می­باشد. توابع بسل از مرتبه می­باشد و منظور از منظم بودن توابع در مبدا می­باشد. موج استوانه­ای بیرون رونده نیز به صورت زیر است:
که تابع هنکل مرتبه اول می­باشد.
در قسمت (۴-۴) هارمونیک­های برداری به صورت زیر تعریف شدند:
با در نظر گرفتن بردار به جای بردار c و محاسبات مربوطه به جواب­هایی به صورت زیر می­رسیم:
که در آن­ها:
کاملا واضح است که جواب­های تولید شده توسط موج استوانه­ای بیرون رونده با قرار دادن به جای و برداشتن به دست می­آیند. این هارمونیک­ها به صورت زیر بر یکدیگر عمود می­باشند:
۴-۶-۲- بسط موج تخت در هارمونیک­های استوانه­ای برداری:
استوانه­ای نامحدود را در نظر می­گیریم که تحت تابش یک موج تخت قرار گرفته است. در ابتدا باید این موج تخت را بر حسب هارمونیک­های استوانه­ای بسط دهیم. برای انجام این کار روابط زیر را در نظر می­گیریم:
از طرفی مطابق با بسط ژاکوبی-آنژه که به صورت زیر می­باشد [۸۵]:
می­توان به رابطه زیر رسید:
بنابراین با کمی محاسبات به رابطه زیر می­رسیم:
با بهره گرفتن از روابط و رابطه (۴-۱۹۰) رابطه زیر را داریم: