INIT population = 100
INFLOWS:
Birth = population*Birth_Rate
Birth_Rate = 0.12
به این ترتیب با توجه به دستگاه معادلات فوق، در صورتی که مقادیر اولیه متغیرهای حالت و متغیرهای کمکی در زمان t مشخص شود، می‌توان مقادیر جمعیت را در زمان‌های بعدی محاسبه نمود.

رویکردهای مختلف تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی به مسأله تخمین پارامتر

تخمین پارامتر و تطبیق مدل با داده‌های زمانی موضوعاتی بحث‌برانگیز در تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی محسوب می‌شوند. در رابطه با این مسأله، دو مکتب فکری وجود دارد. مکتب اول، «مکتب کلاسیک»^[۱۰] دیوید پترسون^[۱۱] (۲۰۰۳) و مکتب دوم، «مکتب تمایل آماری»^[۱۲] جرج ریچاردسون^[۱۳] (۱۹۸۱) است. طرفداران مکتب اول معتقدند که لزومی ندارد پارامترهای یک مدل تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی را با تکنیک‌های آماری رسمی تخمین زد و یا رفتار آن را دقیقاً با مجموعه‌ای از داده‌های سری زمانی تطبیق داد. در حالی که طرفداران مکتب دوم در جبهه مخالف این نظر قرار دارند. مکتب سومی نیز با نام «مکتب تطبیق دستی»^[۱۴] وجود دارد که طرز فکری مابین این دو مکتب دارد. پیروان این مکتب، مشابه مکتب کلاسیک، تخمین اولیه‌ای از پارامترهای مدل به دست آورده و سپس به صورت دستی این پارامترها را آن قدر تغییر می‌دهند تا رفتار مدل شبیه به رفتار مجموعه داده‌های زمانی شود [۵].

مکتب کلاسیک

بر طبق نظر پیروان مکتب کلاسیک، نیازی به تخمین پارامترهای مدل تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی از طریق روش‌های اقتصادسنجی، آزمون و تطبیق آن‌ها با داده‌های سری زمانی یا داده‌های قطعی نیست. یک کارشناس تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی باید اطلاعات را از طریق افراد تصمیم گیرنده، کارشناسان و یا از طریق فرآیندهای فیزیکی جستجو نماید تا بتواند با بهره گرفتن از آن‌ها پارامترهای مدل خود را تعیین کند. این فرایند شبیه به رویکرد مطالعه موردی یا مدل‌سازی الگویی^[۱۵] در اقتصاد نهادی^[۱۶] است و شامل تکنیک‌هایی از قبیل مصاحبه با تصمیم‌گیرندگان (سیاست‌گزاران) در سیستم واقعی، سنجش تأخیرات در فرآیندهای فیزیکی، یافتن نظرات متخصصین امر، انجام مشاهدات توسط مدل‌ساز و استفاده از گروه‌های تحقیق و اطلاعات بایگانی شده، است.
در مجموع، رویکرد کلاسیک پویایی‌شناسی سیستمی، تأکید چندانی بر تعیین دقیق مقادیر پارامترهای مدل و یا تطبیق آن‌ها با داده‌های سری زمانی ندارد. علاوه بر این، سیاست‌های بازخورد قوی که در رویکرد کلاسیک ایجاد می‌شوند همگیبه یک مدل یا شخص خاصی که بتواند مقادیر آینده هر چیزی را پیش‌بینی کند وابسته نیست، این موضوع با این عقیده که سیستم‌های اقتصادی ـ اجتماعی غیر قابل پیش‌بینی هستند در یک راستا قرار دارد. از آن جا که رویکرد مکتب کلاسیک در تخمین پارامترهای مدل تفاوت چشمگیری با رویکردهای آماری و اقتصادی دارد، عموماً مورد بدبینی اقتصاددانان و سایر دانشمندان علوم اجتماعی قرار دارد [۵].

چند روش تخمین پارامتر در مکتب کلاسیک تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی

روش‌های تخمین پارامتر را می‌توان براساس فرضیات مورد نیاز و داده‌های در دسترس طبقه‌بندی کرد. در مدل‌های پویایی‌شناسی سیستمی، داده‌ها را می‌توان در دو دسته کلی تقسیم‌بندی کرد: داده‌های در زیر سطح انباشتگی^[۱۷] متغیرهای مدل (داد‌ه‌های غیرانباشته) و داده‌های در سطح انباشتگی متغیرهای مدل (داده‌های انباشته). داده‌های انباشته مستقیماً به متغیرهای مدل مربوط می‌باشند؛ به عنوان مثال اگر «تعداد واحدهای مسکونی یک شهر» در زمان مشخصی، یک داده انباشته مربوط به این متغیر خواهد بود و یا اگر یک متغیر دیگر مدل «نرخ خرابی واحدهای مسکونی این شهر» باشد تعداد واحدهای مسکونی خراب شده در آن شهر در یک سال خاص، داده انباشته مربوط به این متغیر را تشکیل می‌دهد. داده‌های در زیر سطح انباشتگی (داده‌های غیرانباشته) اطلاعاتی در مورد اتفاقات یا موارد خاصی که ممکن است بعد از جمع‌ آوری و در کنار هم قرار دادن آن‌ها به متغیرهای مدل مربوط باشند را در برمی‌گیرند. به عنوان مثال اگر متغیر مدل «نرخ خرابی واحدهای مسکونی شهر» باشد، داده‌های غیر انباشته مربوط به این متغیر ممکن است شامل مشاهده‌های مربوط به خرابی تدریجی خانه‌ها، عمر یک ساختمان خاص در هنگام خراب شدن، عمر ساختمان‌های خراب نشده و غیره باشد. به این نکته نیز باید توجه کرد که سطح انباشتگی را تنها می‌توان در رابطه با مدل و متغیرهای آن تعیین کرد. داده‌هایی که برای یک مدل در زیر سطح انباشتگی محسوب می‌شوند، ممکن است برای یک مدل جزئی‌تر به عنوان داده‌های انباشته به حساب آیند.

روش‌های تخمین پارامتر با توجه به میزان نیاز به فرض صحت معادلات مدل به سه گروه تقسیم می‌شوند:

• • روش‌هایی که به فرضیات خاصی نیاز ندارند، چون در محاسبه پارامترها از طریق این تکنیک‌ها از معادلات مدل استفاده نمی‌شود. در این تکنیک‌ها از داده‌های غیر انباشته استفاده می‌شود و پارامترها به گونه‌ای تعیین می‌شوند که اتفاقات و فرآیندهای مشاهده شده در سیستم واقعی را توجیه کنند.

• • روش‌‌هایی که با فرض درست بودن معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرند و از این رو براساس داده‌های انباشته قرار دارند.

• • روش‌‌هایی که از چندین معادله (چند معادله و یا تمامی معادلات مدل) برای تعیین مقادیر پارامترها استفاده می‌کنند [۱۰].

تخمین پارامتر با بهره گرفتن از داده‌های غیر انباشته

در بسیاری از مطالعات پویایی‌شناسی سیستمیاز جمله مشهورترین مطالعاتی که توسط فارستر در سال‌های ۱۹۷۳ و ۱۹۶۹ و ۱۹۸۱ انجام شده است، پارامترهای مورد استفاده براساس اطلاعات توصیفی حاصل از افراد درگیر در سیستم به دست آمده است، چنین اطلاعاتی داده‌های غیرانباشته در رابطه با متغیرهای مدل محسوب می‌شوند. به عنوان مثال، معادله‌ای را در نظر بگیرید که نرخ خرابی خانه‌های شهر را نشان می‌دهد [۱۰].
(۱) 
HD: نرخ خرابی خانه‌ها (سال / خانه)
H: تعداد واحدهای مسکونی (خانه)
HL: عمر واحدهای مسکونی (سال)
در این مدل یک مقدار ثابت (یک پارامتر) به عنوان عمر واحدهای مسکونی (HL) در نظر گرفته شده است. به طوری که سالیانه ۱/HL از خانه‌های موجود خراب می‌شوند. HL را می‌توان از روش‌های بسیاری از طریق داده‌های غیرانباشته به دست آورد به طوری که برای تخمین HL از معادلات مدل هیچ استفاده‌ای نشود. از معادله بالا تنها برای تعریف HL‌ در مدل استفاده شده است. یک روش وقت‌گیر برای تخمین HL می‌تواند به این ترتیب باشد که یک نمونه‌گیری در مورد تعداد خانه‌هایی که خراب شده‌اند انجام شود و از متوسط سن این خانه‌ها برای تخمین HL استفاده شود. یک راه دیگر برای به دست آوردن اطلاعاتی در مورد عمر خانه‌ها این است که مدل‌ساز می‌تواند سن خانه‌های موجود را بررسی کند و سپس سنی را که تعداد معدودی از خانه‌ها هنوز پابرجا هستند از طریق مشاهده به دست آورد. روش سوم می‌تواند به صورت مصاحبه با یک کارشناس در زمینه ساخت و خرابی خانه‌ها باشد و نظر وی را در مورد عمر متوسط خانه‌ها جویا شد. به عنوان گزینه چهارم، مدل ساز می‌تواند تاریخچه‌ای مفصل از ساخت و خرابی خانه‌ها در یک منطقه خاص جمع‌ آوری کند و یک تخمین از متوسط عمر خانه‌ها در آن منطقه به دست آورد. گزینه پنجم، می‌تواند تجربیات خود فرد تخمین زننده در مورد متوسط عمر یک یا چند خانه و استفاده از آن برای تخمین پارامتر HL باشد. سرانجام اگر روش دیگری در دسترس نباشد، مدل‌ساز می‌تواند دو مقدار حدی خیلی بزرگ و خیلی کوچک را در نظر گرفته و میانگین آن‌ها را به عنوان تخمین پارامتر HL در نظر بگیرد [۱۰].

تخمین پارامتر توسط یکی از معادلات مدل

یک معادله، رابطه‌ای میان دو یا چند متغیر برقرار می‌کند. تخمین پارامتر با بهره گرفتن از معادله مدل با داده‌های انباشته که به متغیرهای مدل مربوط می‌شوند، صورت می‌گیرد. از طریق این داده‌ها، مدل‌ساز مقادیر پارامتر را به گونه‌ای تعیین می‌کند که معادله مدل با رابطه واقعی میان متغیرها تطبیق داشته باشد. تخمین پارامتر با بهره گرفتن از یک معادله شامل تمامی تکنیک‌های رگرسیون تک معادله‌ای می‌شود. تخمین پارامتر از طریق یک معادله از مدل، نسبت به تخمین از روی داده‌های غیرانباشته کمتر در مطالعات تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی مرسوم بوده است ولی با این حال در بسیاری از مطالعات مفید واقع شده است [۱۰].

تخمین پارامتر با بهره گرفتن از چندین معادله

این روش مشابه روش قبل است با این تفاوت که در این روش به جای استفاده از یک معادله از چندین معادله برای تخمین پارامتر استفاده می‌شود.
در کل، در بین تکنیک‌های ارائه شده، مشکل تخمین پارامتر از طریق داده‌های غیرانباشته این است که ساختاری ایجاد می‌کند که استفاده از تجربیات درون سیستم برای تخمین پارامترها را کمی نامطمئن و نادقیق می‌سازد. دو گروه دیگر از تکنیک‌هایی که از داده‌های انباشته استفاده می‌کنند نیز مشکلاتی به دنبال دارند، اول اینکه استفاده از داده‌های انباشته توانایی تأیید صحت مدل را تضعیف می‌سازد، دوم اینکه این تکنیک‌ها نسبت به خطاهای سیستماتیک در صورت تغییر فرضیات آسیب‌پذیرند. اقتصادسنجی نیز با همین مشکل در هنگام تخمین مدل‌های با معادلات همزمان مواجه است. روش‌های چند معادله‌ای از نظر تئوری دقت بیشتری نسبت به روش‌های یک معادله‌ای دارند ولی روش‌های چند معادله‌ای فرضیات بیشتری را می‌طلبند و به همین ترتیب نیز تخمین پارامتر از روی داده‌های در سطح انباشتگی از قوت و استحکام کمتری نسبت به تخمین پارامتر از روی داده‌های در زیر سطح انباشتگی برخوردار است.
این‌که چه تکنیکی برای تخمین پارامترهای مدل مناسب است به نوع مدل و نحوه انتخاب متغیرها و آزمون آن بستگی دارد. به طور کلی در تخمین پارامترهای مدل تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی باید موارد زیر را در نظر گرفت:

• • باید از ساختاری برای مدل‌سازی استفاده کرد که به اندازه کافی واقع‌گرایانه و جزئی باشد تا بتوان از اطلاعات افراد درگیر در سیستم برای تهیه داده‌های در زیر سطح انباشتگی متغیرهای مدل استفاده کرد.

• • در صورت امکان، بهتر است پارامترها را از طریق داده‌های در زیر سطح انباشتگی تخمین زد تا از داده‌های در سطح انباشتگی برای آزمون صحت مدل استفاده کرد.

• • برای تشخیص معادلات و پارامترهایی که تأثیر زیادی روی نتیجه مدل دارند باید مدل شبیه‌سازی شده را اجرا کرد و به تفکیک، معادلات و پارامترهای فوق را مورد بررسی قرار داد.

• • اگر نیاز به دقت و صحت کمی وجود داشته باشد (به دلیل هدف مدل و یا حساسیت پارمتر)، از تکنیک‌هایی که از معادلات مدل استفاده می‌کنند تنها برای تأیید تخمین‌های قبلی استفاده شود (به دلیل حساسیت و آسیب‌پذیری آن‌ها نسبت به خطای سیستماتیک).

مکتب تمایل آماری

همان‌طور که در ابتدا گفته شد، مکتب تمایل آماری برخلاف مکتب کلاسیک بر تطبیق رفتار مدل با رفتار داده‌های زمانی تأکید دارد و به استفاده از روش‌های آماری برای رسیدن به این تطابق اصرار می‌ورزد. کالیبراسیون (فرایند تخمین پارامترهای مدل به منظور دستیابی به تطابق میان رفتار مشاهده شده و رفتار شبیه‌سازی شده) مبحثی است که در این مکتب مطرح می‌شود.

کالیبراسیون در مدل‌های تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی

کالیبراسیون، فرایند تخمین پارامترهای مدل به منظور ایجاد تطابق بین رفتار مشاهده شده با رفتار شبیه‌سازی شده است. کالیبراسیون به طور ضمنی سعی در مرتبط ساختن ساختار مدل به رفتار مدل دارد.
با این حال فرایند کالیبراسیون محدودیت‌هایی نیز دارد؛ کالیبراسیون یک آزمون جزیی محسوب می‌شود. ساختار سیستماتیک در مدل‌های تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی از طریق معادلات و پارامترها نمایش داده می‌شود. کالیبراسیون؛ معادلات مدل را به گونه‌ای تعیین می‌کند که با رفتار داده‌های زمانی (رفتار مشاهده شده) تطابق داشته باشد. این احتمال وجود دارد که مجموعه‌ای از مقادیر پارامترها امکان تکثیر و تکرار رفتار مشاهده شده را از طریق یک سری فرمول‌های غیر واقعی پیدا کرده و به این ترتیب منجر به ایجاد رفتار درست برای دلایل نادرست شوند. بنابراین، آزمون کامل رفتاری و ساختاری مدل، باید شامل ارزیابی تناسب و درستی معادلات مدل نیز باشد. علاوه بر این، رد یک فرضیه دینامیکی کار آسانی نیست. در صورت وجود تفاوت در خروجی مدل و رفتار سیستم در جهان واقعی، ممکن است مدل‌ساز تمایلی به رد فرضیه‌های دینامیکی که زمان و کار زیادی را صرف آن‌ها کرده است، نداشته باشد و در عوض این اشتباه را به فرضیات دیگری که در طول فرایند مدل‌سازی / آزمون انجام شده بود (مثلاً، خطای فرمولاسیون، خطاهای اندازه‌گیری در داده‌ها و غیره) نسبت دهد. فرایند حمایت از فرضیه اصلی به عنوان نظریه کوئین دوهم^[۱۸] یاد می‌شود. از آن‌جایی که تمامی پیش‌ فرض‌ها ممکن است غلط باشد، هر نتیجه‌ای که گرفته شود می‌تواند از لحاظ منطقی غیر قابل اعتماد باشد. به منظور اجرای یک آزمون دقیقتر، مدل‌ساز باید بر اطمینان نسبت به مجموعه‌ای از پیش‌فرض‌ها اصرار ورزیده و سعی نماید تا در صورت رد فرضیه دینامیکی این مسأله را به خود بقبولاند. شواهد تاریخی نشان می‌دهد که دانشمندان داده‌هایی را که تئوری‌های آن‌ها را رد می‌کند قبول ندارند و آن‌ها را رد می‌کنند، زیرا ترجیح می‌دهند که با نظریه‌های ناقص کار کنند تا اصلاً نظریه‌ای در اختیار نداشته باشند. بر طبق این دیدگاه، اعتبار سنجی نظریه به فرایند تعیین میزان اطمینان نظریه گفته می‌شود. در بخش بعد در مورد روش‌ها و ابزارهای ابتکاری مورد استفاده در کالیبراسیون و سنجش میزان اعتبار مدل بحث خواهد شد، البته باید توجه داشت که از این روش‌ها باید متناسب با فرضیات و هدف مدل مورد نظر استفاده کرد [۱۱].

روش‌های ابتکاری کالیبراسیون

مقادیر پارامترهای مدل تحلیل پویایی‌شناسی سیستمی در ابتدا از طریق مشاهدات مستقیم، حدس‌های تجربی و سایر منابع داده‌ای در سطح زیر انباشتگی متغیرهای مدل به صورت مقدماتی تخمین زده می‌شوند. این مقادیر سپس بر مبنای یک فرایند تکراری (فرایند کالیبراسیون) تجدید نظر شده و تغییر می‌کنند تا با رفتار سیستم واقعی تطبیق پیدا کنند.
یکی از روش‌های کالیبراسیون مطرح شده روش کالیبراسیون دستی است. در این فرایند مدل‌ساز تفاوت‌های میان خروجی مدل و داده‌ها را آزمایش می‌کند و دوباره مدل را شبیه‌سازی می‌کند. این فرایند آن قدر ادامه می‌یابد تا تطبیقی مطلوب بین داده‌ها و نتایج مدل حاصل شود، بنابراین فرایند تخمین پارامتر به تجربه و تخصص مدل‌ساز بستگی دارد.
روش دستی تخمین پارامتر به چند دلیل مورد انتقاد قرار گرفته است:

• • با توجه به این که به نظر می‌رسد این فرایند بیشتر بر تجربه و نگرش مدل‌ساز تکیه دارد تا یک رویه علمی خاص، از این‌رو فرآیندی دشوار به نظر می‌رسد (یعنی بیشتر یک هنر است تا یک علم).

• • فرایند و نتایج حاصله قابل اطمینان نیستند (یعنی مدل‌سازان مختلف ممکن است پارامترهای مختلفی را به دست آورند، به خصوص اگر فرایند کالیبراسیون تغییر ساختار و تغییر مدل را به دنبال داشته باشد).

• • مدل‌ساز نمی‌تواند مطمئن باشد که نتیجه نهایی کالیبراسیون دستی بهترین نتیجه است.

• • کالیبراسیون دستی، آنالیز حساسیت و کران‌های اطمینان را دشوارتر و نامطمئن‌تر می‌سازد.

علاوه بر کالیبراسیون دستی تعدادی روش‌های کالیبراسیون خود کار که برپایه آمار قرار دارند نیز وجود دارد که از جمله این روش‌ها می‌توان به موارد ذیل اشاره کرد: