الگوریتم لانگ‌استاف-شوراتز[۸۷]:
الگوریتم لانگ‌استاف-شوراتز (۲۰۰۱) یکی از معروفترین الگوریتم‌های مورد استفاده برای قیمت گذاری با بهره گرفتن از روش مونت کارلو است مخصوصا برای قیمت‌گذاری اختیارات آمریکایی با یک دارایی یا بیشتر از یک دارایی مورد نظر مناسب می‌باشد. ابتدا چهارچوب ارزش‌گذاری و علائم لازم برای توضیح الگوریتم ارائه می‌شوند. ابتدا یک فضای احتمال کامل و افق زمانی متناهی را فرض می‌نمائیم. یک فیلتر افزایشی تولید شده توسط فرآیندهای قیمتی از دارایی مورد نظر به صورت تعریف می‌نمائیم. بیانگر مسیر جریان نقدی تولید شده توسط اختیار می‌باشد مشروط بر اینکه تا زمان قبل از آن اعمال اختیاری صورت نگرفته است و استراتژی بهینه اعمال می‌باشد که در بازه قرار دارد.
بنابراین هدف پیدا کردن یک قاعده توقف بهینه است که ارزش اختیار امریکایی را حداکثر می کند در زمان انقضا نگهدارنده اختیار وابسته به اینکه سودآور است یا نه اعمال خواهد کرد. در هر زمانی قبل از نگهدارنده دارایی بایستی انتخاب کند که اعمال اختیار را فورا انجام دهد یا اینکه زندگی اختیار ادامه یابد. اگر سرمایه گذار به محض اینکه جریان نقدی اعمال فوری بزرگتر یا برابر ارزش پیوسته (ادامه دادن) باشد را اعمال نمائید، ارزش اختیار حداکثر می‌شود.
به هر حال جریان‌های نقدی از ادامه دادن در زمان شناخته شده نیستند. بنابراین جریان نقدی ناشی از ادامه دادن با گرفتن انتظارات از ارزش‌های تنزیل شده باقی مانده ( ) نسبت به اندازه ریسک خنثی قیمت‌گذاری پیدا می‌شود. به ویژه:
بنابراین مسئله اعمال بهینه به مقایسه ارزش اعمال فوری نسبت به ارزش این انتظارات شرطی کاهش می‌یابد و به محض اینکه ارزش اعمال فوری نسبت به این انتظارات شرطی بزرگتر باشد اعمال فوری اختیار صورت می‌گیرد.
الگوریتم لانگ‌استاف-شوارتز از حداقل مربعات معمولی برای تقریب تابع انتظارات شرطی در هر تاریخ‌های اعمال ، …و استفاده می‌نمائید. همچنین این روش از روش استقرایی عقب‌گرد استفاده می‌کند زیرا مسیر جریان نقدی به صورت برگشتی تعریف شده است. به طور مشخص در زمان شکل تابع نامعلوم (۲-۱۴۰) می‌تواند توسط ترکیب خطی از مجموعه‌ای شمارش‌پذیر از توابع پایه اندازه پذیر تقریب زده شود. الگوریتم لانگ‌استاف-شوارتز از فرم عمو‌می‌تابع پایه‌ای[۸۸] زیر برای استفاده نموده است:
که برای ، و به ترتیب به صورت زیر نوشته می‌شوند:
با این توضیحات، می‌تواند توسط یک مجموعه متناهی از تابع پایه‌ای تقریب زده شود.
که بردار به صورت زیر می‌باشد:
که ارزش تنزیل شده از در زمان برای مسیر مشمول در رگرسیون است. یک ماتریس غیر منفرد و یک بردار با طول (M+1) است. ضرایب در می‌توانند از مشاهدات زوج‌های برای تخمین‌زده شوند که شامل متغییر حالت در زمان و ارزش تنزیل شده اختیار متناظر با متغییر حالت در زمان است. تخمین حداقل مربعات به صورت زیر داده شده است:
که و بر‌گرد‌ان‌ها[۸۹] از و می‌باشند. بنابراین با رگرسیون ارزش‌های تنزیل شده روی توابع پایه‌ای برای مسیر‌هایی که اختیار در زمان سودآور است انجام می‌شود. به محض اینکه تابع انتظارات شرطی در زمان تخمین‌زده شود تصمیم اعمال با مقایسه ارزش اعمال فوری از هر مسیر پولی با ارزش ادامه دادن مشخص می‌شود.
به محض اینکه تصمیم اعمال مشخص شد مسیر جریان‌های نقدی می‌تواند تقریب زده شوند این فرایند به صورت برگشتی توسط فرایند استقرایی عقب‌گرد تا هنگا‌می‌که همه تصمیمات اعمال برای هر زمان اعمال و در هر مسیر تعیین شود تکرار می‌شود. بنابراین اختیار امریکایی با شروع از زمان صفر و حرکت رو به جلو روی هر مسیر تا هنگا‌می‌که زمان اعمال رخ دهد تنزیل جریان نقدی مربوط به خود از اعمال با برگشت به زمان صفر و گرفتن میانگین روی همه مسیرهای شبیه سازی‌شده ارزش گذاری می‌شود.
ارتقا کارایی روش لانگ‌استاف-شوراتز:
متغیره‌های کنترلی:
همانطور که قبلا بیان شد برای کاهش واریانس تخمین‌های مونت‌کارلو می‌توان از متغیره‌های کنترلی استفاده کرد. به ویژه در آنالیز عددی تکنیک‌های کنترل متغیره‌های برای کاهش واریانس ارزش پیوسته اختیار استفاده می‌شود. تخمین جدید با بهره گرفتن از متغیره‌های کنترلی به صورت زیر داده شده است.
به طور مقتضی با متغییر تصادفی اندازه‌پذیر انتخاب شده است و ، امین مشاهده از متغییر تصادفی می‌باشد زیرا محاسبه انتظارات شزطی آن در زمان به سادگی امکان‌پذیر است.
انتخاب بهینه از به صورت زیر داده شده است:
چون در عمل به ندرت امکان‌پذیر است که را به صورت تحلیلی تعیین نمائیم بنابراین آنرا توسط روش مونت‌کارلو تخمین می‌زنیم تخمین با بهره گرفتن از مسیر مستقل به صورت زیر است:
که
جهت پیدا کردن یک جانشین مناسب برای ، در نظر بگیرید که فرآیندهای ارزش تنزیل شده از یک پورتفولیوی تقریبا هماهنگ با بازدهی اختیار اروپایی متناظر باشد تخت اندازه ریسک خنثایی فرایند یک مارتینگل است و بنابراین خاصیت را برقرار می کند. مهمترین ایده راسمن (۲۰۰۵) استفاده از متغیره‌های کنترلی زیر است:
که زمان توقف متناظر با اعمال اختیار امریکایی است. و این می‌تواند با بهره گرفتن از تئوری نمونه گیری‌بهینه تعدیل شود که تضمین می کند:
در موردی که بتوان ارزش پورتفولیوی خود تامیین‌کننده مالی را به طور دقیق با ارزش اختیار اروپایی تطبیق نماییم به عبارتی اختیار اروپایی را به راحتی بتوان به صورت تحلیلی ارزش‌گذاری نمود، متغیره‌های کنترل اختیار امریکایی به صورت زیر نوشته می‌شود.
که این قیمت اختیار اروپایی اندازه‌گیری شده در زمان اعمال اختیار امریکایی است.
بهبود روش لانگ‌استافف-شوراتز با بهره گرفتن از متغیره‌های کنترلی:
در این بخش بهبود روش لانگ‌استافف-شوراتز با بهره گرفتن از متغیره‌های کنترلی در حداقل مربعات در نظر می‌گیریم. فرایند نیازمند جایگزینی بازدهی اختیار بعد از استراتژی اعمال با یک متغییر تصادفی با انتظارات شرطی یکسان در زمان اما با یک واریانس شرطی کوچکتر است. راسموسن (۲۰۰۵) بیان می کند که این روش کارایی روش حداقل مربعات را بدون تغییر در اریب بهبود می‌بخشد. حال متغیر تصادفی به صورت زیر در نظر می‌گیریم:
که یک متغیر کنترل شده در(۲-۱۴۹) است و یک متغیر تصادفی اندازه‌پذیر است. تصور کنید که داده شده است و نشان دهنده تصویر برروی تابع پایه‌ای اندازه‌پذیر باشد. با بهره گرفتن از خطی بودن تصویر داریم:
بنابراین تصویر فقط یک ترکیب خطی از ، و است. با انجام دادن فرض ساده‌کننده که انتظارات شرطی زمان از متغیره کنترلی ( ) در محدوده تابع پایه‌ای است بنابراین می‌توان (۲-۱۵۱) را به صورت زیر تغییر داد:
اکنون با در نظر گرفتن فرم تابعی بهینه از داریم :
که در (۲-۱۴۸) تعریف شده است و به صورت زیر تعریف می‌شود:
در (۲-۱۴۳) فرض می‌کنیم انتظارات شرطی از و و می‌توانند به عنوان یک مجموع شمارش‌پذیر از مجموعه‌های یکسان از توابع پایه‌ای اندازه‌پذیر باشد. بنابراین انتظارات شرطی را با بهره گرفتن از تابع پایه‌ای تقریب زد: بنابراین داریم:
بنابراین با داشتن تقریب‌ها در (۲-۱۵۵)، اکنون می‌توان را با تخمین زد
