subject to

(‏۳- ۱۹)

(‏۳- ۲۰)

محدودیت (۳-۳) یک معادله بالانس موجودی برای محصولات نهائی در کارخانهj می­باشد، محدودیت (۳-۴) نیز یک معادله بالانس موجودی برای مواد اولیه در سایت j می­باشد. محدودیت (۳-۵) یک معادله بالانس برای سطح نیروی کار است و تضمین می­نماید که تعداد کارکنان با سطح تخصص k در کارخا نه j برابر است با تعداد کارکنان با همان سطح تخصص در دوره قبل به علاوه تغییرات صورت گرفته در سطح نیروی کار برای آن سطح تخصص در دوره فعلی. محدودیت (۳-۶) با در نظر گرفتن بهره­وری کارکنان، زمان در دسترس تولید را محدود به زمان در دسترس نیروی کار می­نماید. محدودیت (۳-۷) یک حد بالا برای برونسپاری محصولات به پیمانکاران خارج از شرکت تعیین می­نماید. محدودیت (۳-۸) یک معادله بالانس برای میزان کمبود در نقطه تقاضای c می­باشد. دقت شود که این معادله به صورت مساوی است و در آن امکان نگهداری موجودی در نقاط تقاضا لحاظ نشده است. علت این موضوع می ­تواند مرتبط با فسادپذیری محصولات و یا تحمیل هزینه­ های سرسام آور نگهداری به عرضه کنندگان باشد. محدودیت­های (۳-۹) و (۳-۱۰) میزان موجودی مواد اولیه و محصولات نهائی را در هر دوره و هر سایت به ظرفیت انبارش آن اقلام در سایت مربوطه محدود می­نماید. محدودیت (۳-۱۱) تضمین می­ کند که تغییرات در سطح نیروی انسانی از درصد خاصی از سطح نیروی کار در دوره قبلی تجاوز نکند. محدودیت (۳-۱۲) تضمین می­ کند تا تعداد کارکنان با سطح تخصص k که در دوره جاری اخراج شده و یا برای سطوح تخصصی بالاتر آموزش دیده اند از تعداد کل نیروی کار با همان سطح تخصص در دوره قبل بیشتر نباشد. محدودیت (۳-۱۳) مشخص می­نماید که کارکنانی که برای سطوح بالاتر تخصصی دوره می­بینند نباید در همان دوره اخراج شوند. این محدودیت دارای یک عبارت غیرخطی مشخص است و با بهره گرفتن از متغیر کمکی صفر و یک () و یک عدد بزرگ دلخواه (M) به فرم خطی معادل زیر در می ­آید:

(‏۳- ۲۱)

(‏۳- ۲۲)

(‏۳- ۲۳)

محدودیت (۳-۱۴) مشخص می­ کند که آموزش کارکنان از سطح تخصص k به سطح تخصص k’ تنها زمانی ممکن است که چنین برنامه آموزشی وجود داشته باشد. محدودیت (۳-۱۵) اشاره می­ کند که تعداد کالاهای سفارش داده شده به تأمین کنندگان نبایستی از ظرفیت تولید آن تأمین کنندگان در آن دوره بیشتر باشد. و در نهایت نوع متغیرها توسط محدودیت­های (۳-۱۶) و (۳-۱۷) مشخص می­گردد.
مدل سازی، حالت تصادفی
نیاز به در نظر گرفتن عدم قطعیت در برنامه­ ریزی تولید از این واقعیت سرچشمه می­گیرد که مدل­های برنامه­ ریزی میان مدت با هدف تخصیص منابع برای آینده با توجه به اطلاعات جاری و اتفاقات آتی توسعه یافته اند. از طرف دیگر عدم قطعیت­های موجود در زنجیره تأمین و محیط پیرامونی این برنامه­ ریزی را پیچیده تر می­نماید. اولین قدم برای در نظر گرفتن عدم قطعیت در تصمیماتِ برنامه ریزی، تعیین نحوه مطلوب مواجهه با پارامترهای غیر قطعی است. رویکردهای بهینه سازی تحت عدم قطعیت از فلسفه­های مختلف بهینه سازی نظیر کمینه سازی امید ریاضی، کمینه سازی انحراف از اهداف و کمینه سازی بیشینه هزینه ها پیروی می­نماید. طبق آنچه در فصل مرور ادبیات بدان اشاره شد، رویکردهای اصلی مواجهه با عدم قطعیت شامل برنامه­ ریزی تصادفی (مدل­های ارجاعی، برنامه­ ریزی تصادفی پایدار و مدل­های احتمالی)، برنامه­ ریزی فازی (برنامه ریزی منعطف و امکانی)، برنامه­ ریزی پویای احتمالی و بهینه سازی پایدار می­باشد (ساهینیدیس^[۱۹۸] ۲۰۰۴). قدم بعدی تعیین بیان مقتضی از پارامترهای غیر قطعی است. در برنامه­ ریزی تصادفی، برای بیان پارامترهای غیر قطعی دو متدولوژی متفاوت قابل بکار گیری می­باشد؛ رویکرد مبتنی بر سناریو و رویکرد مبتنی بر تابع توزیع. در رویکرد سناریو-محور، عدم قطعیت با یک مجموعه گسسته از سناریوها بیان می­ شود و چگونگی اثرگذاری عدم قطعیت بر آینده پیش بینی می­ شود. هر سناریو با یک احتمال وقوع همراه است و در واقع این احتمال انتظارات تصمیم گیر را نسبت به وقوع آن سناریوی خاص، مشخص می­نماید. از مزایای متدولوژی سناریو-محور می­توان به عدم محدودیت در تعداد پارامترهای غیر قطعی در نظر گرفته شده اشاره نمود. با این وجود، کاربردپذیری این روش با توجه به این حقیقت که نیازمند پیش بینی همه پیامدهای محتمل آتی هستیم محدود می­گردد. رویکرد مبتنی بر توزیع احتمال زمانی بکار می­رود که بتوان یک طیف پیوسته از پیامدهای بالقوه محتمل آتی را پیش بینی نمود. مزیت این روش آن است که با تخصیص یک تابع توزیع احتمال به طیف پیوسته پیامدهای محتمل، نیاز به پیش بینی دقیق سناریوها مرتفع می­گردد. اما در عین حال پیچیدگی به کاربردن توأمان توابع توزیع مختلف، تعداد پارامترهای غیرقطعی در نظر گرفته شده را محدود می­نماید.
در مدل پیشنهادی اول، از رویکرد برنامه­ ریزی تصادفی پایدار و متدولوژی سناریو-محور استفاده شده است و برنامه­ ریزی پیشنهادی چند هدفه تصادفی پایدار برای برنامه­ ریزی کلی تولید در زنجیره تأمین در ادامه خواهد آمد. عدم قطعیت با یک مجموعه گسسته از سناریوها (ξ) بیان شده است.