حال مساله یک الکترون مقید به یک نیروی مرکزی که توسط پتانسیل  در  قرار گرفته است را بررسی مینماییم. هامیلتونی جفت کننده (۱-۳۸) برای اندرکنش اتم و میدان تابشی، میتواند توسط تقریب دو قطبی به فرم سادهای کاهش یابد. فرض میشود که کل اتم تحت تاثیر یک موج الکترومغناطیسی تخت که توسط پتانسیل برداری  توصیف شده است، قرار دارد. تقریب دو قطبی الکتریکی بر این واقعیت استوار است که طول موج تابشی بسیار بزرگ‌تر از ابعاد اتمی میباشد. یعنی دراتم‌های سبک،  مربوط به میدان تابشی باید از مرتبه ترازهای اتمی باشد. پس:

(۱-۵۳)
با توجه به این که  و  میباشند و برای اتمهای سبک (z<<)، خواهیم داشت:
(۱-۵۴)
بدین ترتیب با بهره گرفتن از رابطه فوق، پتانسیل برداری به این صورت نوشته میشود:
(۱-۵۵)
پس معادله شرودینگر برای این مساله، توسط رابطه (۵۰-۱) داده میشود با این تفاوت که به آن پتانسیل بستگی  اضافه شده است:
(۱-۵۶)
باید توجه کرد که در معادله بالا در پیمانه تابش هستیم که در آن داریم:
(۱-۵۷)
با تعریف یک تابع موج جدید  و با بهره گرفتن از تبدیل پیمانهای  داریم:
(۱-۵۸)
و با قرار دادن (۱-۵۸) در معادله(۱-۵۶) خواهیم داشت:
(۵۹-۱)
با ساده کردن معادله فوق وحذف رابطه نمایی از طرفین خواهیم داشت:
(۱-۶۰)
با ساده کردن و قرار دادن  در آن، رابطه زیر بدست میآید:
(۱-۶۱)
میدانیم هامیلتونی اتم لخت برابر است با :
(۱-۶۲)
و همچنین  میباشد. پس معادله (۱-۶۱)، فرم سادهای میگیرد:
(۱-۶۳)
با توجه به این که هامیلتونی کل به صورت زیر است:
(۱-۶۴)
پس با مقایسه روابط (۱-۶۴) و (۱-۶۴) هامیلتونی اندرکنش عبارت است از:
(۱-۶۵)
در این فصل و فصل‌های بعد، هرگاه نیازی به محاسبه هامیلتونی اندرکنش سیستم مورد نظر باشد، از این هامیلتونی‌ها استفاده خواهیم کرد.
۷-۱ اندرکنش یک اتم دو ترازی با یک میدان تک مدی
اندرکنش یک میدان تابشی تک مدی حامل فرکانس  ، با یک اتم دو ترازی را به صورت شکل۱-۳ در نظر می‌گیریم]۸[. حالتهای  حالتهای تراز پایینی و بالایی اتم را نشان میدهند. یعنی در آنها ویژه حالت‌های هامیلتونی  ، به ترتیب با ویژه مقدارهای  متناظر میباشند.

شکل۱-۳: اندرکنش یک میدان تابشی تک مدی دارای فرکانس  با یک اتم دو ترازی.
از آنجا که ذره میتواند در یکی از دو حالت کوانتومی یافت شود، بردار حالت  یک برهم نهی از حالتهای کوانتومی است]۸[. پس حتی هنگامی که نیروهای خارجی حضور دارند نیز تابع موج اتم دو ترازی باید به صورت یک برهم نهی باشند:
(۱-۶۶)
که  به ترتیب دامنههای احتمال یافتن اتم در حالتهای  میباشند. وقتی بردار حالت با زمان تغییرمیکند، تصاویر ویژه آن روی چهارچوب مرجع ثابت هم تغییر کرده و احتمال های وابسته به زمان ایجاد میگردند، این احتمال ها در حالت کلی برای یک سیستمN ترازی، به صورت زیر بیان میشود:
(۱-۶۷)
N حالت‌های کوانتومی مربوط به فضای هیلبرت N بعدی کامل هستند، یعنی سیستم با احتمال واحد در یکی از این حالتها یافت میشود. این بدین معنی است که جمع احتمالهای جداگانه هم باید واحد باشد:
(۱-۶۸)
پس بردار حالت هم در همه زمانها دارای طول واحد خواهد بود:
(۱-۶۹)
ویژگی جمع واحد معمولا به صورت یک رابطه مکملی بیان میشود که درآن Nبردار واحد متعامد، یک بسط واحد را تشکیل میدهند:
(۱-۷۰)
رابطه فوق، در یک سیستم دو ترازی به صورت  نوشته شده و هامیلتونی اتم لخت، عبارت خواهد بود از:
(۱-۷۱)
هامیلتونی اندرکنش اتم با میدان تابشی هم به روش مشابه، این گونه نوشته میشود:
(۱-۷۲)
که در آن  عنصر ماتریس ممان دو قطبی الکتریکی بوده و  میدان اندرکنش کننده با اتم میباشد. طبق قواعد قطبی و گزینش برای اینکه دو تراز این سیستم با میدان اندرکنش کننده جفت شوند، باید میدان الکتریکی در امتداد محور  قطبیده خطی باشد و در تقریب دو قطبی بدین صورت بیان میشود:
(۱-۷۳)
که  دامنه و  فرکانس میدان است. با بهره گرفتن از روابط (۱-۶۴)، (۱-۶۶)، (۱-۷۱)، (۱-۷۲) در معادله شرودینگر متناظر به صورت زیر:
(۱-۷۴)