۴

۰.۳۷۱۳۸۳

۲

۰.۸۳۰۵

۵

۰.۷۸۸۶۴۵

۲

۰.۶۷۴۱

۶

۰.۲۹۲۷۱۹

۲

۰.۸۶۳۸

Joint

۳.۱۳۰۸۳۷

۱۲

۰.۹۹۴۵

جدول شماره۴-۶: آماره اثر و مقدار ویژه برای تعیین تعداد بردارهای هم انباشتگی (جوهانسون- جوسلیوس)

فرضیه

آماره اثر
(traceλ)

مقدار بحرانی در سطح ۹۵ درصد

آماره مقدار ویژه
( maxλ)

مقدار بحرانی در سطح ۹۵ درصد

حداکثر۲ بردار هم انباشتگی وجود دارد

۴۷.۷۶

۴۷.۸۵

—-

—-

حداکثر ۲ بردار هم انباشتگی وجود دارد

—-

—-

۲۳.۶۹

۲۷.۵۸

آماره آزمون اثر (traceλ) به گونه ای تنظیم شده است که وقتی هیچ بردار هم انباشتگی در بین متغیرهای الگو وجود ندارد کمیت صفر را ارائه کند. وقتی که بین متغیرهای بردار مورد بررسی هیچ رابطه تعادلی بلند مدت و یا به عبارت دیگر هیچ رابطه خطی پایایی وجود ندارد، باید عناصر ماتریس π در الگو همگی صفر باشند. در این صورت رتبه ماتریس π نیز صفر خواهد بود. بنابراین انتظار می رود وقتی که هیچ بردار همجمعی وجود ندارد، کمیت آماره traceλ به صفر نزدیک باشد.
هنگامی که کمیت آماره آزمون traceλ از مقدار بحرانی ارائه شده توسط جوهانسون و جوسیلیوس (۱۹۹۰) کمتر باشد، بنابراین روش آزمون به این ترتیب است که برای r=0,1,…k-1 آماره آزمون traceλ را محاسبه کرده و مقدار آن را با کمیت بحرانی ارائه شده مقایسه می نماییم. تا مادامی که کمیت آماره آزمون از مقدار بحرانی بزرگتر است، فرضیه صفر وجود r بردار هم انباشتگی در برابر فرضیه مقابل وجود بیش از r بردار هم انباشتگی رد می شود. هنگامی فرضیه وجود r بردار هم انباشتگی پذیزفته خواهد شد که مقدار آماره آزمون از کمیت بحرانی آن کوچکتر باشد.
آزمون دیگری که برای منظور فوق طراحی شده است، بر این اساس است که بزرگترین کمیتی از λ که از نظر آماری معنی دار است را پیدا کنیم. آماره این آزمون به آماره حداکثر مقدار ویژه^[۴۸] معروف است. این آماره وجود r بردار هم انباشتگی را در برابر فرضیه مقابل وجود r+1 بردار هم انباشتگی مورد آزمون قرار می دهد. اگر کمیت محاسبه شده maxλ از مقدار بحرانی آن بیشتر باشد، فرضیه وجود r بردار هم انباشتگی در برابر فرضیه مقابل r+1 بردار هم انباشتگی رد می شود. هنگامی وجود r بردار هم انباشتگی پذیرفته می شود که کمیت آماره آزمون از مقدار بحرانی آن کوچکتر باشد. مطالعات مونت کارلو نشان داده است که در مواردی که جملات پسماند معادلات دارای چولگی یا کشیدگی بیش از حد هستند، آزمون اثر از آزمون حداکثر مقدار ویژه قوی تر است.
همانگونه که در رابطه با آزمون اثر اشاره شد، وقتی فرضیه صفر وجود r بردار هم انباشتگی پذیرفته می شود که کمیت آماره آزمون λtrace از مقدار بحرانی ارائه شده توسط جوهانسون و جوسلیوس کمتر باشد. از این رو بر اساس اطلاعات مندرج در جدول شماره ۴-۷ می توان وجود ۲r= بردار هم انباشتگی را پذیرفت، زیرا کمیت آماره آزمون در این رابطه ۴۷.۷۶ است که از مقدار بحرانی ۴۷.۸۵ در سطح ۹۵% کوچکتر است.
اکنون اطلاعات مربوط به آزمون حداکثر مقدار ویژه مندرج در جدول شماره ۴-۷ را مورد توجه قرار دهید. این آزمون وجود r بردار هم انباشتگی را در برابر فرضیه مقابل وجود r+1 بردار هم انباشتگی مورد آزمون قرار می دهد. همانگونه که اشاره شد وجود r بردار هم انباشتگی وقتی پذیرفته می شود که کمیت آماره آزمون maxλ از مقدار بحرانی آن کوچکتر باشد. براین اساس آزمون maxλ نیز مشابه آزمون اثر تعداد بردار های هم انباشتگی را مساوی دو تعیین می کند، زیرا کمیت آماره آزمون مربوط به آن ۲۳.۶۹ است، که از مقدار بحرانی ۲۷.۵۸ در سطح ۹۵% درصد کوچکتر است. برآورد ضرایب این بردار هم انباشتگی به صورتی است که در جدول شماره ۴-۷ آمده است.