این عملگرها به ترتیب متناظر با مؤلفه‌های مرکزی، وابسته به اسپین ، تانسوری ، اسپین- مدار، مربع اسپین- مدار و اسپین- مدار نا متقارن می‌باشند. در مسائل مربوط به ماده‌ی هستهای متقارن به دلیل وجود استقلال بار نیروی هستهای عملگر اسپین- مدار نا‌متقارن شرکت نمی‌کند.
برای بیان پتانسیل‌ها در فضای اندازه حرکت ابتدا سه کمیت زیر را معرفی می‌کنیم:
(۱-۵۵)
در این روابط تکانه اولیه و تکانه نهایی هستند. پتانسیل نیجمگن در فضای اندازه حرکت به صورت زیر داده می‌شود:
(۱-۵۶)
که در آن عملگرهای عبارتند از:
(۱-۵۷)
اما عملگرهای در فضای مکان تبدیل فوریه‌ی دقیق عملگر در فضای اندازه حرکت نیست. باید توجه کرد که این نکته مهم است زیرا اگر بخواهیم در فضای اندازه حرکت و مکان حالت‌های مرزی و انتقال فاز مشابهی را دقیقا ایجاد کنیم، زمانی این امر امکان‌پذیر است که پتانسیل‌ها در فضای اندازه حرکت و مکان تبدیل فوریه‌ی دقیق یکدیگر باشند، زمانی که پتانسیل‌ها در فضای اندازه حرکت ارزیابی شدند از طریق عکس تبدیلات فوریه به فضای مکان انتقال می‌یابند، اما قبل از آن می‌بایست تکینگی در مبدا برطرف شود. بدین منظور از فاکتور شکل استفاده می‌کنیم. بر این اساس معادله کلی زیر را در نظر می‌گیریم:
(۱-۵۸)
جرم ذره‌ی مورد نظر و تابع موج مرکزی ذره در فضای مکان است.
در این معادله به ازاء به تابع شناخته شده‌ی یوکاوا می‌رسیم:
(۱-۵۹)
که در تابع موج بالا تکینگی در مبدا هنوز وجود دارد.
با قرار گرفتن فاکتور شکل تک قطبی داریم:
(۱-۶۰)
با فاکتور شکل دو قطبی تابع موج مورد نظر برابر می شود با:
(۱-۶۱)
با فاکتور شکل نمایی خواهیم داشت:
(۱-۶۲)
به فاکتور قطع مرسوم و تابع خطای مطلق است.
پتانسیل نیجمگن در توصیف مقادیر انرژی موفق بوده است.
فصل دوم :
مکانیک آماری
مقدمه
در تقریب هارتری فوک نوکلئون‌ها در ماده‌ی هستهای به صورت گاز فرمی، در نظر گرفته می‌شوند که شامل ذره بدون برهم‌کنش هستند. از آنجا که ذرات تشکیل‌دهنده‌ی هسته‌ها فرمیون هستند، لازم است که آمار فرمی-دیراک را مورد بحث قرار دهیم. ترازهای انرژی در دمای از پایین‌ترین تراز تا سطح انرژی فرمی پر می‌شوند و ذرات در دمای طبق تابع توزیع فرمی-دیراک در ترازهای انرژی قرار می‌گیرند، بنابراین در دمای با یک سیستم آماری سروکار داریم که باید ویژگی‌های این سیستم را تحت آمار فرمی-دیراک بررسی کنیم[۲۶].
۲-۱-مکانیک آماری
مکانیک آماری شاخه‌ای از فیزیک است که با مطالعه آماری حالت‌های میکروسکوپی یک دستگاه، پارامترهای ماکروسکوپی آن را تعیین می‌کند. مکانیک آماری در واقع رابطه بین دنیای میکروسکوپی و دنیای ماکروسکوپی است.
راه‌های مختلفی وجود دارد که انرژی سیستم بتواند بین ذره ی تشکیل دهنده‌ی آن توزیع شود. هر یک از این راه‌ها یک حالت میکروسکوپی با میکروحالت سیستم مفروض را مشخص می‌کند.
ارتباط بین ترمودینامیک (دنیای ماکروسکوپی) و مکانیک آماری (دنیای میکروسکوپی) را می‌توان با فرمول زیر نشان داد:
(۲-۱)
که آنتروپی سیستم و تعداد میکروحالت‌های سیستم و ثابت بولتزمن می‌باشد.
دو سیستم فیزیکی که به طور جداگانه در تعادل هستند در نظر می‌گیریم. حالت ماکروسکوپی با پارامترهای مشخص می‌شود و حالت‌های میکروسکوپی آن را با نمایش می‌دهیم.حالت ماکروسکوپی نیز با پارامترهای و حالت‌های میکروسکوپی آن را با مشخص می‌کنیم. اگر دو سیستم را در تماس گرمایی با یکدیگر قرار دهیم، تبادل انرژی بین این دو سیستم امکان‌پذیر می‌شود. انرژی‌های متغیر هستند و تنها شرطی که تغییرات، آنها را مقید می‌سازد است که انرژی سیستم مرکب است. از انرژی برهم‌کنش بین نیز صرف‌نظر می‌کنیم. تعداد میکروحالت‌های کل را می‌توانیم از رابطه زیر به دست آوریم:
(۲-۲)
تبادل انرژی تا جایی ادامه پیدا می‌کند که به ماکزیمم مقدار خود برسد. در این صورت دو سیستم با یکدیگر در حالت تعادل حرارتی هستند. در حالت تعادل انرژی سیستم‌ها را با نشان می‌دهیم، در این صورت خواهیم داشت:
(۲-۳)
و یا
(۲-۴)
با بیشینه کردن خواهیم داشت:
(۲-۵)
و چون پس و می توانیم بنویسیم:
(۲-۶)
پس شرط ما برای تعادل، به برابری پارامترهای به ترتیب مربوط به زیر سیستم‌های کاهش می‌یابد که در آن چنین توصیف می‌شود:
(۲-۷)
دیمانسیون عکس انرژی است لذا ، که ثابت بولتزمن، برحسب دمای کلوین است.
اگر حجم وتعداد ذرات ثابت باشند، براساس قوانین ترمودینامیکی خواهیم داشت:
(۲-۸)
حال فرض می‌کنیم سیستمی با ذره که انرژی کل ذرات آن باشد داریم. تعداد میکروحالت‌ها برابر می‌شود با تعداد راه‌های انتخاب ذره که هر کدام دارای انرژی می‌باشند:
(۲-۹)
پس آنتروپی کل از رابطه زیر به دست می‌آید:
(۲-۱۰)
می‌توانیم از تقریب استرلینگ استفاده کنیم که خواهیم داشت[۲۷]:
(۲-۱۱)
(۲-۱۲)
