۲ – آزمون نموداری من - کندال
۳-۱۰-۱. مراحل انجام آزمون رتبه ای من ـ کندال
شاخص های کندال حالت تقارن دارد. به این معنا که متغیرها قرینه بوده و برای محقق مهم نیست که کدام یک از متغیرهای مورد مطالعه وابسته و کدامیک مستقل می باشد. این شاخص مشخص می کند که تا چه میزان افزایش یا کاهش در یک متغیر با افزایش یا کاهش در یک متغیر دیگر همراه است. مقدار ضریب کندال همواره بین ۱- تا ۱+ در نوسان می باشد. کندال به سه روش مختلف محاسبه می گردد. زمانی که جدول به صورت دو بعدی باشد و تعداد آزمودنی یا N نیز بیشتر باشد از کندال تائو a استفاده می شود. کندال تائوb نیز زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که تعداد خانه های سطر و ستون جدول دو بعدی با هم برابر باشند. اما آنچه تعداد ردیف ها و ستون ها با هم برابر نباشند و جدول به صورت مستطیل باشد باید از کندال تائو c استفاده شود. در این روش مقیاس ها باید ترتیبی باشند.

در ابتدا این آزمون برای مشخص کردن غیر پارامتریک بودن سری های آماری به ترتیب صعودی مرتب و رتبه بندی می شوند ؛ در این آزمون تصادفی بودن داده ها با عدم وجود روند مشخص می گردد. در صورت وجود روند، داده ها غیر تصادفی بوده و برای تصادفی بودن داده ها از آزمون آماره کندال (رابطه ۴) استفاده شده است.

یکی از متداول ترین روش های همبستگی رتبه ای استفاده از ضریب همبستگی کندال است. این ضریب را با حرف یونانی  (تاو) نمایش می دهند (مهدوی، طاهر خانی، ۱۳۸۵، ۱۶۶). این آزمون نیاز به توزیع فراوانی نرمال یا خطی بودن رفتار داده ها نداشته و در برابر مقادیر فرین ^[۹]برای مثال داده هایی که کشیدگی^[۱۰] زیاد دارند مانند (داده های بارندگی) و داده هایی که از رفتار خطی انحراف چشمگیری دارند بسیار قوی بوده و به منظور ارزیابی روند بکار می روند (عساکره و کاویانی، ۱۳۸۲، ۲۵۵). مراحل اجرای آزمون به طور اختصار به شرح زیر است: داده ها را رتبه بندی نموده و آماره  (نسبت رتبه  به رتبه های ماقبل) را محاسبه نموده، سپس فراوانی تجمعی آماره  را به دست می آوریم. امید ریاضی، واریانس و شاخص من ـ کندال براساس فرمول های زیر محاسبه می شوند (تورکش و همکاران، ۱۹۹۶، ۱۰۶۲؛ لانا و همکاران، ۲۰۰۳، ۳۲۰؛ لانا و همکاران، ۲۰۰۴، ۶۲۷ ؛ سلشی و همکاران، ۲۰۰۴، ۹۷۶).
(۱)
(۲)
(۳) در روابط (۲) و (۳)  ترتیب زمانی داده ها می باشد. این شاخص دارای توزیع نرمال است، لذا جهت شناسایی معنی دار بودن از جدول منحنی نرمال استفاده می شود.
برای بررسی تغییرات باید شاخص  نیز تعیین شود. مراحل محاسبه  بدین شرح است:
داده ها را رتبه بندی نموده و آماره  (نسبت رتبه  به رتبه های مابعد) را مشخص کرده و سپس فراوانی تجمعی  محاسبه می شود. امید ریاضی، واریانس و شاخص  به شرح زیر محاسبه می‎شوند:
(۴)

(۵)
(۶)

در روابط شماره (۴) و (۵) N حجم نمونه ی آماری مورد مطالعه است. محل تلاقی شاخص  و  با محدوده ی ۹۵ درصد اطمینان نشان دهنده ی تغییرات سری زمانی بوده و رفتار  بعد از محل تلاقی وضعیت روند (کاهشی یا افزایشی) سری را نشان می دهد. عدم تلاقی دو شاخص معرّف عدم روند سری می باشد.
فصل چهارم : تجزیه و تحلیل داده ها و یافته های تحقیق
۴-۱. یافته ها
۴-۲. کاربرد روش من کندال
۴-۳. آزمون تصادفی و غیر تصادفی بودن داده ها (آماره T)
۴-۴. تحلیل تغییرات بارش
۴-۵. الگوی زمانی روند بارش براساس آماره های U و َU َ آزمون من- کندال
۴-۱. یافته ها
۴-۲. کاربرد روش من ـ کندال
روش من ـ کندال می تواند برای کشف یک گرایش یکنوا خت در یک سری زمانی به کار برده می شود:  ها را به ترتیب زمانی ردیف شده اند به وسیله ی رتبه‌هایشان جانشین می‌کنیم، و به آنها رتبه های زمان های مشاهده یعنی شماره های مشاهدات را نسبت می دهیم، در این صورت آزمون وابستگی یکنوا بین مشاهدات و زمان ها به یک آزمون گرایش یکنوا از زمان تبدیل می شود.
شاید مهمترین کاربرد روش استفاده از آن برآورد کردن پارامتری باشد که یک معنی ذاتی در مسائل متعدد دارد.  ‌را احتمال یک هماهنگی در نظر می گیریم، یعنی احتمال مشاهده ی مقادیر  که به تصادف اختیار شده اند، با همان ترتیبی که مقادیر  متناظر مرتب شده اند:

و یا بر حسب متغیر مفسر  داریم:

(توجه کنید، فرض صفر که موضوع آزمون است،  می باشد) بنابراین آماره ی

یک برآوردگر نااریب برای  است زیرا

بنابراین واریانس دقیق  بستگی به توزیع زوج  دارد، زیرا در اینجا تحت فرض صفر قرار نداریم، با وجود این من ـ کندال (۱۹۴۸) نشان داده است که می توان تقریب آن را با کمیت  در نظرگرفت. این فرمول امکان ساختن یک بازه ی اطمینان تقریبی را برای  فراهم می سازد (لوبار، مورینو، فنلون، ۱۳۷۴، ۱۷۳).

۴-۳. آزمون تصادفی و غیر تصادفی بودن داده ها (آماره T)
جهت بررسی تصادفی بودن و تعیین روند در سری ها ازآزمون گرافیکی من‌ـ‌کندال استفاده می شود. در‌صورت وجود روند داده ها غیر تصادفی بوده و برای تعیین تصادفی بودن داده ها را مورد آزمون قرار می دهند:
سپس آماره ی  را به شرح زیر محاسبه خواهیم نمود:
(۱)
آماره  (ضریب همبستگی رتبه ای من ـ کندال) به وسیله  و  (طول دوره ی آماری) به شرح زیر محاسبه می گردد:
(۲)
این آماره برای  به توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس  شبیه است. بنابراین آزمون معنی داری آن به صورت زیر قابل محاسبه است:
(۳)

در بالا  نقطه احتمال مورد نظر (معمولاً ۹۵ درصد در توزیع نرمال با آزمون دو طرفه) برابر ۹۶/۱ می باشد (کاویانی، عساکره، ۱۳۸۲، ۲۵۱). در صورت اعمال این مقدار،  معادل با ۲۵/۰± می شود. با توجه به مقدار بحرانی بدست آمده برای  ، حالات مختلفی بدین شرح مشاده خواهد شد:
-<  <  + یا ۲۵/۰-<  <25/0+ باشد، هیچگونه روند مهمی در سری ها مشاهده نمی شود و سری ها تصادفی هستند. همچنین اگر  >  یا ۲۵/۰->  باشد، نشان دهنده روند منفی در سری ها و در‌صورتی که  <  یا ۲۵/۰+<  باشد روند مثبت در سری ها رخ خواهد داد. (کاویانی، عساکره، ۱۳۸۲، ۲۵۲-۲۵۱).
جدول۴-۱. سطوح معنی داری  و احتمال خطا  برای آزمون من ـکندال