درک مجموعه های فازی، اولین قدم در ورود به مباحث ریاضیات فازی است که در مقابل ریاضیات کلاسیک قرار دارد. مبانی ریاضیات کلاسیک، منطق ارسطویی است در این منطق شیوه استدلال “قطعی و صریح” است. ار طرف دیگر ریاضیات فازی بر پایه استدلال تقریبی بنا شده است که منطبق با طبیعت یا سرشت سیستم های انسانی است. این نوع استدلال تعمیم یافته استدلال قطعی و صریح ارسطویی است. (عادل آذر، ۱۳۸۷).
۲-۱۰-۲ تاریخچه شکل گیری منطق فازی
در حادثه در اوایل قرن بیستم منجر به شکل گیری منطق فازی شد. اولین حادثه پارادوکس های مطرح شده توسط برتراند راسل در ارتباط با منطق ارسطویی بود. برتراند راسل بنیاد های منطقی برای منطق فازی را نهاد اما هرگز موضوع را تعقیب نکرد. دومین حادثه، کشف “اصل عدم قطعیت” توسط هایزنبرگ در فیزیک کوانتوم بود. اصل عدم قطعیت کوانتومی هایزنبرگ به باور کورکورانه قطعیت در علوم و حقایق علمی خاتمه داد و یا دست کم آنرا متزلزل ساخت.هایزنبرگ نشان داد که حتی اتم های مغز نیز نا مطمئن هستند. حتی با اطلاعات کامل نمی­توانید چیزی بگویید که صد در صد مطمئن باشید. در این میان، منطقیون برای گریز از خشکی و جزمیت منطق دو ارزشی، منظق های چند ارزشی را به عنوان تعمیم منطق دو ارزشی پایه گزاری کردند. اولین منطق سه ارزشی در سال ۱۹۳۰ توسط لوکاسیه ویچ ۱ – منطق دان لهستانی – پایه گزاری شد.(کاسکو، ۱۳۷۷) منطق فازی نیز یک منطق چند ارزشی است . تمایز عمده منطق فازی با منطق چند ارزشی آن است که در منطق فازی، حقیقت و حتی ذات مطالب هم می­توانند نا دقیق باشند.

منطق فازی یک جهان بینی جدید است که علی رغم ریشه داشتن در فرهنگ مشرق زمین با نیازهای دنیای پیچیده امروز بسیار سازگارتر از منطق ارسطویی است. منطق فازی جهان را آنطور که هست به تصویر می-کشد. بدیهی است چون ذهن ما با منطق ارسطویی پرورش یافته است برای درک مفاهیم فازی باید در ابتدا کمی تامل کنیم، ولی وقتی آنرا شناختیم دیگر نمی­توانیم آنرا به سادگی فراموش کنیم. دنیایی که ما در آن زندگی میکنیم دنیای مبهمات و عدم قطعیت است . مغز انسان عادت کرده است که در چنین محیطی فکر کند و تصمیم بگیرد و این قابلیت مغز که می ­تواند با بهره گرفتن از داده های نا دقیق و کیفی به یادگیری و نتیجه گیری بپردازد، در مقابل منطق ارسطویی که لازمه آن داده های دقیق و کمی است، قابل تامل است. (عادل آذر، ۱۳۸۷)
مجموعه های فازی توسط ماکس بلک و لطفی زاده ارائه گرید. ابتدا در سال ۱۹۳۷ ماکس بلک- فیلسوف کوانتوم- مقاله ای راجع به آنالیز منطق به نام “ابهام” را در مجله علم منتشر کرد. البته جهان علم و فلسفه مقاله بلک را نادیده گرفت. اگر چنین نمی­شد ما هم اکنون باید منطق گنگ را به جای منطق فازی مورد بررسی قرار می­دادیم، سپس در سال ۱۹۶۵ لطفی زاده که در آن زمان رئیس دپارتمان مهندسی برق دانشگاه کالیفرنیا در برکلی بود مقاله ای تحت عنوان مجموعه های فازی منتشر ساخت، در این مقاله او از منطق چندمقداری لوکاسیه ویچ برای مجموعه ها استفاده کرد و نام فازی را برای این مجموعه ها در نظر گرفت تا مفهموم فازی را از منطق دودویی دور سازد. او لغت فازی را انتخاب کرد تا همچون خاری در چشم علم مدرن فرو رود. اصل فازی پس از ۳۰۰۰ سال فرهنگ غربی، ۳۰۰۰ سال تلاش در انکار آن، نادیده انگاری، محدود ساختن آن، تغییر نام آن و ۳۰۰۰ سال تلاش در حذف موجودیت آن ظهور کرد. (کاسکو، ۱۳۷۷) از آن پس افراد مختلفی از مفهوم فازی در تحقیقات خود بهره گرفتند، از جمله زیمرمان (۱۹۷۶) یک تکنیک بهینه سازی فازی را برای مسئله برنامه ریزی خطی مطرح کرد که به صورت تک هدفه و چند هدفه عمل می­کرد؛ مولارچی، کاهرامان، زعیم سلیم و نورول هاک از جمله کسانی بودند که روش AHP را با تئوری مجموعه های فازی درآمیختند. (هوشمندی ماهر، ۱۳۸۵)
چن^[۹۴] و همکاران در مقاله ای تحت عنوان “ارزیابی عملکرد تأمین کننده با بهره گرفتن از رویکرد تکاملی مبتنی بر منطق فازی” اظهار داشتند که ویژگی­های مرتبط با واحدهای تولیدی و تأمین کنندگان ماهیت فازی دارند و در نتیجه جهت ارزیابی عملکرد تأمین کنندگان باید از رویکرد فازی استفاده کرد (چن و همکاران، ۲۰۰۴)
کومار^[۹۵] و همکاران نیز در مقاله ای از رویکرد تکاملی فازی برای ارزیابی عملکرد تأمین کننده و رتبه بندی آنها استفاده کرده است. (کومار و همکاران، ۲۰۰۴) زعیم سلیم^[۹۶] و همکاران یک رویکرد جدید به نام مدل فرایند تحلیل سلسله مراتبی وزن دهی شده با بهره گرفتن از برنامه ریزی خطی فازی (AHP-FLP) برای انتخاب تأمین کننده ارائه دادند. (سلیم و همکاران، ۲۰۰۸)
شارون اردوبدی^[۹۷] نیز از جمله کسانی است که برای ارزیابی تأمین کنندگان از منطق فازی بهره گرفته است، وی بیان می­دارد که ارزیابی های انسانی معمولا شامل درجاتی از ذهن گرایی است که قابل تبدیل شدن به مقیاس­های عددی نیستند و مستلزم استفاده از متغیرهای زبانی هستند. بنابراین جهت برخورد با چنین مواردی باید از رویکرد فازی استفاده کرد. (اردوبدی، ۲۰۰۹)
۲-۱۰-۳ مفاهیم اساسی مجموعه های فازی
تابع عضویت: مجموعه فازی Ã در یک مجموعه مرجع X با تابع عضویت نشان داده می­ شود که به هر عنصر x از X عددی را در بازه نسبت می­ دهند. مقدار تابع ، درجه تعلق مقدار حقیقی x به مجموعه Ã را نشان می­دهد. (کافمن^[۹۸] و گوپتا^[۹۹]، ۱۹۹۱)
در تابع ، نزدیکی بیشتر به یک نشان دهنده تعلق بیشتر x به Ã و نزدیکی بیشتر به صفر نشان دهنده تعلق کمتر x به مجموعه Ã است. به لحاظ شهودی می­توان را درجه پذیرش ما در قبول x به عنوان عضوی از مجموعه Ã در نظر گرفت. همچنین در حالت حدی چنانچه باشد، x کاملا در Ã قرار دارد و چنانچه ، x اصلا عضو Ã نمی ­باشد. (عادل آذر، ۱۳۸۷)
در نمودار ۲-۱ یک مجموعه فازی در R نشان داده شده است.
نمودار شماره ۲-۱: نمایش یک مجموعه فازی (عادل آذر، ۱۳۸۷)
نماد گذاری:
برای نشان دادن یک مجموعه فازی، روش های مختلفی وجود دارد:
متمم یک مجموعه فازی:
متمم یک مجموعه فازیبا نماد نمایش داده می­ شود و بصورت زیر تعریف می­گردد:
تکیه گاه (پشتیبان)، ارتفاع و گذر:
مجموعه عناصری از X که تابع عضویت آنها بزرگتر از صفر باشد، تکیه گاه A نامیده می­ شود و با Supp A نشان داده می­ شود.
در مجموعه Ã، ارتفاع مجموعه Ã نامیده می­ شود و آن را با hgt نشان می­ دهند. اگر ارتفاع مجموعه Ã برابر ۱ باشد، آن را نرمال و در غیر این صورت Ã را غیر نرمال گویند(کلیر^[۱۰۰] و یوان^[۱۰۱]، ۱۹۹۵).
روشن است که هر مجموعه فازی زیر نرمال Ã را می­توان با تقسیم ها بر ارتفاع آن نرمال کرد.
همچنین اگر برای عنصری مثل x در A داشته باشیم ، x را یک نقطه گذر (معبر) می­گویند. (مؤمنی، ۱۳۸۵)
زیرمجموعه های فازی:
اگر برای هر داشته باشیم ، در این صورت Ã را زیرمجموعه B می­نامیم. همچنین دو مجموعه Ã و B را مساوی گویند اگر برای هر باشد.
برش:
مجموعه عناصری از X را که درجه عضویت آنها در مجموعه فازی Ã حداقل به بزرگی α باشد و ، α برش A ( یا مجموعه تراز α از A ) گوییم و با نشان می­دهیم. یعنی:
گاهی نیز از مفهموم ” برش قوی” استفاده می­ شود که با نشان داده می­ شود و به صورت زیر تعریف می­گردد:
توجه داشته باشید که در حالت خواهیم داشت ، یعنی پشتیبان یک مجموعه همان برش مجموعه می­باشد. (کلیر و یوان، ۱۹۹۵)
۲-۱۰-۴ اعداد فازی
یک مجموعه فازی N از مجموعه اعداد حقیقی ® را یک عدد فازی حقیقی گوییم اگر سه ویژگی زیر را داشته باشد:
مجموعه فازی N محدب باشد.
نرمال و تک نمایی باشد، یعنی فقط یک وجود داشته باشد که .
قطعه به قطعه پیوسته باشد.
نمودار شماره ۲-۴ یک عدد فازی را نشان می­دهد. زیرا تابع عضویت محدب، تک نمایی (یک مد بیشتر ندارد، مد آن صفر است) و قطعه به قطعه پیوسته است.
نمودار شماره ۲-۲: نمودار تابع عضویت عدد فازی “تقرباً صفر” (مؤمنی، ۱۳۸۵)
بر حسب نوع تابع عضویت و توزیع امکان پذیری تعداد بی نهایت انواع عدد فازی وجود دارد. یکی از کاربردی ترین اعداد فازی، عدد فازی مثلثی است و به صورت نشان داده می­ شود که در نمودار شماره ۲-۵ نشان داده شده است.
نمودار شماره ۲-۳: عدد فازی مثلثی (مؤمنی، ۱۳۸۵)
تابع عضویت عدد فازی مثلثی به صورت زیر تعریف می­ شود:
۲-۱۰-۵ ماتریس فازی
یک ماتریس را یک ماتریس فازی می­نامند، اگر حداقل یک عنصر آن فازی باشد.
متغیر زبانی:
متغیری است که مقادیر آن با واژه های زبانی بیان می­ شود. مفهوم متغیر زبانی برای برخورد با شرایطی که خیلی پیچیده نیست و با شرایطی که به خوبی تعریف نشده است که بتوان آن را با عبارات کمی متداول بیان کرد بسیار مفید می­باشد. (چن و همکاران، ۲۰۰۵)
برای تبدیل واژه های زبانی به اعداد فازی مقیاس­های مختلفی وجود دارد. چن و هوانگ مقیاس­های مختلفی را از نظر تعداد واژه های زبانی و اعداد فازی پیشنهاد کرده اند که در شکل شماره ۲-۸ نشان داده شده است.
شکل شماره ۲-۲ : مقیاس های مخلتف برای تبدیل واژه های زبانی به اعداد فازی (مؤمنی، ۱۳۸۵)
حتی وقتی تعداد واژه ها در دو متغیر مختلف، یکسان باشد، واژه های زبانی واقعی ممکن است قدری با هم اختلاف داشته باشند. شایان ذکر است حتی زمانی که واژه های مشابهی همچون “بالا” را استفاده می­کنیم، اعداد فازی آن­ها از مقیاسی به مقیاس دیگر متفاوت خواهد بود. این بدان جهت است که یک واژه زبانی در موقعیت های مختلف، معانی مختلفی دارد. منظور از معرفی مقیاس­های مختلف، انتخاب ساده یکی از اشکال بر حسب تعداد واژه های زبانی است که تصمیم گیرندگان استفاده می­ کنند.
۲-۱۱ آزمون فرض فازی
آزمون فرض فازی، تعمیم آزمون فرض آماری کلاسیک می­باشد که دارای ارزشی قطعی است. آزمون فرض فازی برای تعیین درجه درستی ( نادرستی ) یک فرضیه مورد استفاده قرار می­گیرد. فرضیه ممکن است شامل داده ­های قطعی یا فازی باشد. یک آزمون فرضیه فازی، ارزشی در بازه تولید می­نماید که بیانگر درجه درستی فرضیه تهی و فرضیه ­های جایگزین ( برای داده ­های نمونه ) می­باشد. آزمون فرض فازی، فرضیه را به اندازه و فرضیه ­های جایگزین را به اندازه تأیید می­نماید.
در آزمون فرض آماری، محقق یک فرضیه تهی دارد و هدف از آزمون فرض آماری، تصدیق فرضیه تهی می­باشد. آزمون نتیجه قطعی دارد: یا فرضیه تهی رد می­ شود یا باقی می­ماند. مطابق تئوری آمار، باقی ماندن فرضیه تهی نباید به معنای تأیید فرضیه باقی می­ماند. باقی ماندن فرضیه تهی تنها بدین معنا است که شواهد آماری کافی مبنی بر نادرست بودن فرضیه تهی وجود ندارد. از طرف دیگر، رد فرضیه تهی بدان معنا است که فرضیه ­های جایگزین نامحدودی وجود دارد که یکی از آن­ها درست است. نکته­ای که باید به آن توجه شود این است که باقی­ماندن یک فرضیه، عقیده ما را نسبت به آن افزایش می­دهد، اما سؤال آن است که حال عقیده ما باید چه مقدار بیشتر شده باشد؟ آمار پاسخ روشنی نمی­دهد. در مورد رد فرضیات نیز وضع از این دشوارتر است، چرا که به ما پیشنهاد نمی­ شود که چه فرضیه جایگزینی باید انتخاب گردد. همچنین ممکن است از اصطلاح سطح اطمینان به عنوان اندازه پیوسته­ای از ارزیابی فرضیه استفاده شود. اما باید توجه داشت که سطح اطمینان یک اصطلاح تکنیکی خالص است و نباید آن را با اصطلاحات روزمره از قبیل «مهم»، «با­اهمیت»، «با معنی» و… اشتباه گرفت. به دیگر سخن آنکه سطح اطمینان آماری بیانگر سطح اطمینان عملی نمی ­باشد (آذر، فرجی،۱۳۸۹).
به طور کلی در آزمون فرض فازی هدف قبول یا رد یک فرضیه به طور کامل نمی ­باشد بلکه میزان درستی هر یک از فرضیه ­ها بیان می­ شود.
آزمون فرض فازی، همانند آزمون فرض کلاسیک دارای چهار گام است. تدوین فرضیه ­ها، نمونه گیری، آزمون فرضیه ­ها و تصمیم ­گیری. در گام تدوین فرضیه ­ها، فرضیه تهی و جایگزین تعریف می­گردد. در گام نمونه گیری، یک زیرمجموعه D از کل داده ­ها به عنوان نمونه انتخاب می­ شود. این نمونه باید دارای عناصر کافی باشد تا با درجه رضایت مشخصی نماینده کل داده ­ها باشد. در گام آزمون فرضیه ­ها، استنتاج فازی برای هر یک از فرضیه ­ها صورت می­گیرد و نتایج با بهره گرفتن از تابع یکپارچه سازی ترکیب می­ شود. در گام آخر نیز نتایج آزمون مورد تحلیل قرار می­گیرد.