تئوری گیرسانو: در نظر بگیرید که یک فرایند منطبق بر باشد و رابطه زیر را برای همه برقرار نمایید:
و در نظر بگیرید که :
اگر باشد بنابراین یک مارتینگل است. اندازه روی به صورت زیر تعریف می‌شود:
که معادل با است. تحت فرایند
به ازای ، یک حرکت برآونی استاندارد نسبت به است. بالعکس اگر یک اندازه احتمال روی معادل با محدودیت به باشد بنابراین با بیان (۲-۳۰) برای بعضی برقرار می کند و یک حرکت برآونی استاندارد تحت است.
بنابراین تغییر اندازه متناسب با یک تغییر در عرض از مبدا در حرکت برآونی روی یک افق زمانی متناهی، یک تغییر مطلقا پیوسته از اندازه است و هر تغییر مطلقا پیوسته از اندازه برای حرکت برآونی، از این نوع است.
معادلات دیفرانسیل تصادفی
یک حرکت برآونی استاندارد روی فضای احتمال در نظر بگیرید. همچنین فرض نمایید که یک فیلتر باشد به نحوی که منطبق بر فیلتر و برای هر تغییر مستقل از باشد. حال می‌خواهیم معادله
را حل نماییم. و در معادله (۲-۳۳) به ترتیب بیانگر عرض از مبدا و ضریب پخش می‌باشند. در صورت صفر قرار دادن ضریب پخش به یک معادله دیفرانسیل معمولی می‌رسیم. با انتگرال گیری از معادله (۲-۳۳) انتگرال تصادفی بدست می‌آید که به صورت زیر بیان می‌شود:
جواب معادله (۲-۳۴) یک فرایند ایتو خواهد بود جواب‌های معادله دیفرانسیل تصادفی یک فرایند پخش نامیده می‌شوند.
تعداد زیادی از معادلات دیفرانسیل تصادفی وجود دارند که نمی‌توانند به صورت صریح حل شوند به عبارتی فاقد جواب با فرم بسته باشند در این صورت باید از روش‌های عددی برای بدست آوردن جواب کمک گرفت. روش‌های عددی کمک می‌نمایند تا شبیه‌سازی‌های تقریبی از این معادلات بدست آوریم.
روش‌های عددی
روش معادلات دیفرانسیل متناهی
این روش از ابتدایی‌ترین روش‌ها برای حل معادلات تصادفی هستند. برای توضیح این روش از یک مدل ساده بلک-شولز شروع می‌نمائیم. همچنین فرض نمایید که بازدهی به صورت پیوسته و با سطح بلند مدت و انحراف معیار ثابت در نظر گرفته می‌شود. جریان پیوسته از سودهای تقسیم شده با کاهش از در هر بازه زمانی با مقدار با ثابت و مثبت مدل می‌شود. بنابراین مدل سود پیوسته را به آسانی می‌توان در مدل بلک-شولز وارد نمود. در این صورت داریم:
معادله متناظر با مدل بلک-شولز برای تابع ارزش ( ) تحت احتمال ریسک خنثایی به صورت زیر نوشته می‌شود
(۲-۳۶) با معادله (۲-۳۷) برای با و هم‌ارز می‌باشد:
هم‌ارزی فوق می‌تواند با تبدیل‌های زیر بررسی شود.
معادله دیفرانسیل خطی با ضریب برای معادله دیفرانسیل اویلر معروف می‌باشد.
نظر به تبدیل زمانی (۲-۳۸) زمان انقضا در زمان جدید توسط تعیین می‌شود و به انتقال می‌یابد. به میزان مقیاس بندی توسط متغیر زمانی جدید بیانگر زمان باقی‌مانده از زندگی اختیار است. و دامنه اصلی از و متعلق به (۲-۳۶) به ترتیب بازه‌های و تبدیل می شوند زیرا هدف تقریب یک جواب برای (۲-۳۷) می باشد. بعد از محاسبه مجددا تبدیل‌های (۲-۳۸) را به کار می‌گیریم تا این که از ارزش اختیار را برحسب متغیرهای اصلی استخراج نماییم.
تحت تبدیل های (۲-۳۸) شروط نهایی برای اختیار خرید ( ) و فروش ( )
به شروط اولیه برای تبدیل می شود. برای مثال برای اختیار خرید داریم:
که از تبدیل‌های (۲-۳۸) داریم:
بنابراین
با بهره گرفتن از برای اختیار خرید و اختیار فروش داریم:
مبانی روش‌های دیفرانسیل متناهی
تقریب تفاضلی
هر تابع پیوسته دیفرانسیل‌پذیر از مرتبه دوم ( ) رابطه زیر را برقرار می‌نمائید.
که می‌باشد. مقدار صحیح به درستی قابل تشخیص نیست. بسط فوق از سری تیلور قابل استخراج است.
حال را با معرفی شبکه[۶۸] یک-بعدی در نقاط گسسته با گسسته‌سازی می‌نمائیم. برای مثال یک شبکه با اندازه تور[۶۹] می‌توان انتخاب کرد. حال اگر چه به صورت گسسته درآمده است ولی مقادیر تابع گسسته نشده‌اند. برای مشتق کراندار است و عبارت می‌تواند برای راحتی به صورت نوشته شود. این فقط برای راحتی علائم است.
روابط مشابه برای مشتقات جزئی که بر حسب گسسته‌سازی می‌شود قابل استخراج است. کافی است که را با جایگزین نماییم.
عبارت کسری در معادله (۲-۴۶) معادله تفاضلی است که معادله دیفرانسیلی از طرف چپ تخمین می‌زند و معادل با عبارت خطا است. کسر دیفرانسیلی نامتقارن (یک طرفه) از (۲-۴۶) دارای مرتبه است مرتبه‌‌های خطای توسط دیفرانسیل‌‌های مرکزی استخراج می‌شوند:
