K=30
K=25
K=20
K=15
K=5

-۰.۳۷۴۸۷
۰.۰۰۰۰۰
۰.۰۴۵۵۵
۰.۰۰۰۰۰
۰.۰۰۰۰۰

۱.۰۰۳۳۱
۱.۵۷۱۴۰
۰.۹۴۱۱۹
۰.۹۴۱۱۹
۱.۰۰۳۳۱

۰.۹۹۶۴۳
۰.۷۲۵۸۰
۱.۰۶۱۶۶
۱.۰۶۱۶۶
۰.۹۹۶۴۳

جدول ۴-۲: و با فرکانس­های نوع دو و سه
۴-۳ طیف مرکب
برای بررسی سری­های زمانی با طیف مرکب، سری زمانی ، ، را مورد بررسی قرار می­دهیم که در آن نوفه سفید است. برای بررسی قله طیف، که در بخش ۲-۳ مورد بحث قرار گرفته است، شکل ۴-۵ را در نظر بگیرید. در شکل ۴-۵، و به عنوان توابعی از
(با ) و تحت این فرض که نوفه سفید دارای توزیع گاوسین با واریانس یک باشند رسم شده است. همچنین، در این شکل ، و در نظر گرفته شده است. در این مثال، فرکانس­های نوعII مربوط به ، فرکانس های نوع III مربوط به و سایر فرکانس­های باقی مانده فرکانس­های نوع I هستند. جدول ۴-۲ شامل مقادیر عددی اولین عضو و عضو­های روی قطر در فرکانس نوع II و III است. همانطور که در شکل
۴-۵ دیده می­ شود، برای تمام فرکانس­های نوع I، و است. با توجه به جدول ۴-۲ می­توان مشاهده کرد که، در فرکانس­های نوع II و III، با متناسب نیست و برای همه فرکانس­های نوع III، است.
برای سنجش اعتبار توزیع­های مجانبی (تحلیلی) ارائه شده در روابط (۲-۸) تا (۲-۱۱) توزیع دوره­نگار لاپلاسی را در فرکانس­های مختلف و تحت مدل­های مختلف برای نوفه شبیه­سازی می­کنیم. شکل ۴-۶ برخی از نتایج را برای نوفه­های گاوسین با واریانس یک و بر اساس ۱۰۰۰ بار شبیه­سازی مونت کارلو نشان می­دهد. همانطور که دیده می­ شود، توزیع مجانبی ارائه شده در روابط (۲-۸) و (۲-۱۱)، حتی برای اندازه نمونه ، بسیار خوب عمل می­ کنند. این در حالی است که توزیع­های مجانبی ارائه شده در روابط
(۲-۹) و (۲-۱۰) در بعضی مواقع، به ویژه زمانی که حجم بزرگ (یعنی ) و یا تفاوت بین و بزرگ باشد (یعنی )، به خوبی عمل نمی­کند.
شکل ۴-۵: نمودار و در رابطه (۲-۷) با برای سری­هایی از طیف مرکب ().
در این مدل، دوره­نگار لاپلاسی با دوره­نگار عادی مقایسه شده است. شکل (a)4-6 میانگین شبیه­سازی شده و صدک­های ۱۰ , ۹۰ را برای دوره­نگار لاپلاسی بر اساس ۱۰۰۰ بار اجرای شبیه­سازی مونت کارلو نشان می­دهد. شکل (b)4-6 نشان­دهنده نتایج برای دوره­نگار عادی است. همانطور که دیده می­ شود، هر دو دوره­نگارها شامل یک قله قوی در سیگنال فرکانس () و یک سطح ثابت برای نوفه است. به دلیل وجود قله در تابع طیف، دوره­نگار لاپلاسی نیز دارای یک قله کوچک اما قابل مشاهده به است.
اگر چه قله طیف، دوره­نگار لاپلاسی را در نقطه ضعیف قرار می­دهد، مزیت دوره­نگار لاپلاسی زمانی مشخص می­ شود که شکل ©4-6 و (d)4-6، را که در آن نوفه دارای توزیع کوشی با پارامتر مقیاس یک است، را با هم مقایسه کنیم. در این حالت، دوره­نگار لاپلاسی مشخصه­های حالت گوسین را حفظ می­ کند اما دوره­نگار عادی بسیار بد عمل خواهد کرد. در این حالت، میانگین شبیه­سازی شده و صدک ۹۰ مقادیر نسبتا بزرگی را در همه فرکانس­ها اختیار می­ کنند و نمی­ توان در مورد مکان فرکانس سینوسی اظهار نظر کرد. از این آزمایش، نتیجه می­گیریم که مزایت استواری دوره­نگار لاپلاسی می ­تواند مفید بودن این دوره­نگار را در تحلیل سری زمانی با طیف مرکب توجیه کند، با این شرط که امکان وجود قله در طیف به خوبی درک شده باشد.
شکل۴-۶ : (a) و (c) دوره­نگار لاپلاسی برای سری­های زمانی از طیف مرکب است. (b) و (d) دوره­نگار عادی برای داده مشابه است. توجه کنید که -، میانگین؛ - - -، صدک­های ۱۰ و ۹۰؛ -.-.-در (d)، میانه است. نوفه، گاوسین در (a)(b) و کشی در (c)(d) است.
۴-۴ برآورد فرکانس
در انتها، مساله کلاسیک برآورد فرکانس سیگنال سینوسی در مشاهدات
، ، که در آن A و B و ثابت­های شناخته شده و یک فرایند تصادفی با میانگین صفر است، را بررسی می­کنیم. به طور کلاسیک، فرکانس به وسیله ماکزیمم کردن دوره­نگار عادی تخمین زده می شود [Quinn و Hannan (۲۰۰۱)]. اما در حالت­هایی که در آن نوفه دارای توزیع دم سنگین است، دوره­نگار لاپلاسی جایگزین مناسبی برای روش­های قدیمی فراهم می­ کند.