مدل تک عاملی بدون بازدهی آسایش
در مطالعات اولیه برای قیمت‌گذاری مشتقات انرژی از این مدل بیشتر استفاده شده است. در این مدل قیمت نقدی نفت خام به عنوان تنها عامل تصادفی در نظر گرفته می‌شود. اکثر مطالعاتی که برای مدل‌سازی قیمت نقدی نفت خام به کار می‌روند فرض می‌کنند که قیمت نقدی نفت خام از حرکت برآونی هندسی[۱۰۰] پیروی می‌کنند. بنابراین معادله دیفرانسیل تصادفی قیمت نقدی نفت خام به صورت زیر نوشته می‌شود.
که بیانگر قیمت نقدی نفت در زمان ، [۱۰۱] بیانگر سطح بلند مدت نرخ تغییر قیمت نقدی، و بیانگر انحراف معیار قیمت نقدی، بیانگر حرکت وینر[۱۰۲] و بیانگر دیفرانسیل متغیر است. حال با بهره گرفتن از لم ایتو[۱۰۳] داریم:
در این مطالعه فرض می‌شود که قیمت نقدی نفت مستقیماً قابل مشاهده نیست. بنابراین یک روش برای تخمین پارامترهای فوق این است که از رابطه موجود بین قیمت آتی ( )[۱۰۴] و قیمت نقدی نفت خام استفاده شود که در اکثر مطالعات موجود از این روش استفاده می‌شود. با داشتن رابطه فوق (۳-۲) و بیان رابطه بین قیمت نقدی و آتی به یک مدل فضای حالت می‌رسیم که با داشتن مدل فضای حالت و به کارگیری فیلتر کالمن می‌توان پارامترها و متغیرهای حالت (غیر قابل مشاهده) را تخمین زد.
از ادبیات اقتصاد مالی می‌دانیم قیمت قرارداد آتی تحت شرایط ریسک خنثایی در زمان با سررسید معادل با قیمت مورد انتظار نقدی برای زمان باشد. بنابراین داریم:
بنابراین نیاز است که از رابطه (۳-۲) را استخراج نماییم و در رابطه فوق قرار دهیم در این صورت داریم:
که معادل با است. حال با لگاریتم گرفتن از رابطه فوق داریم:
معادله (۳-۵) را به صورت ماتریسی زیر می‌نویسیم. بنابراین رابطه بین قیمت قرارداد آتی و قیمت نقدی نفت خام برای داده‌های مشاهده شده به صورت زیر نوشته می‌شود:
در معادله فوق فرض می‌شود که جمله خطای( ) دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس باشد. در این مطالعه برای تخمین مدل ارائه شده فوق از یک قرارداد آتی برای استخراج قیمت نقدی و تخمین پارامترها استفاده می‌شود.
مدل فضای حالت شامل دو معادله انتقال[۱۰۵] و اندازه‌گیری است معادله اولی دینامیک مجموعه متغیرهای حالت را توضیح می‌دهد و معادله دو‌می متغیرهای غیر قابل مشاهده را به متغیرهای قابل مشاهده ربط می‌دهد در معادلات فوق، قیمت نقدی ( ) غیر قابل مشاهده و متغیر قابل مشاهده می‌باشد. بنابراین معادله (۳-۲) و معادله (۳-۶) به ترتیب بیانگر معادله انتقال و اندازه‌گیری می‌باشند. بنابراین مدل فضای حالت به صورت زیر نوشته می‌شود:
در سیستم معادلات (۳-۷) انحراف معیار( ) ثابت است. در سیستم معادله فوق، باید مجموعه پارامترهای تخمین زده شوند. برای این امر از فیلتر کالمن استفاده می‌شود. جهت تخمین با بهره گرفتن از فیلتر کالمن باید ابتدا (۳-۷) به صورت گسسته نوشته شود و سپس تخمین زد. بنابراین داریم:
که جمله خطا می‌باشد که معادل با است بنابراین دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس است.
مدل تک عاملی با بازدهی آسایش ثابت
چون بازدهی آسایش ارتباط دهنده قیمت نقدی و آتی در بازار مشتقات کالا است بنابراین به مدل‌های مورد مطالعه بازدهی آسایش اضافه می‌شوند تا اثرات آن بر ارزش اختیارات در میدان نفتی مورد نظر مطالعه شوند. از طرف دیگر در نظر گرفتن آنها باعث واقعی‌سازی بیشتر مدل می‌شود.
در این مدل نیز قیمت نقدی نفت خام ( ) به عنوان تنها عامل تصادفی در نظر گرفته می‌شود. همانند مدل قبل به پیروی از اکثر مطالعات انجام شده فرض می‌شود که قیمت نقدی نفت خام از حرکت برآونی هندسی پیروی می‌کنند. وجود بازدهی آسایش ( ) باعث پیدایش انحراف از سطح بلند مدت ( ) نرخ بازدهی قیمت نقدی نفت خام می‌شود. در این مدل بنابراین معادله دیفرانسیل تصادفی قیمت نقدی نفت خام به صورت زیر نوشته می‌شود.
حال با بهره گرفتن از لم ایتو داریم:
در این مدل نیز فرض می‌شود که قیمت نقدی نفت خام مستقیماً قابل مشاهده نیست. در این مطالعه ارزش میدان نفتی بر اساس فرض ریسک خنثایی و پیوسته بودن زمان است. بنابراین نیاز است تا پارامترهای ریسکی در معادله قیمت‌گذاری وارد شوند. برای این منظور در معادله (۳-۱۰) را به صورت می‌نویسیم بنابراین با مرتب‌سازی داریم:
که در معادله فوق قیمت بازاری ریسک معرفی می‌شود و چون ریسک نامطلوب است بایستی مقدار آن منفی باشد.
در این مدل نیز برای تخمین پارامترهای فوق، از رابطه موجود بین قیمت آتی( ) و قیمت نقدی نفت خام استفاده می‌شود با داشتن رابطه فوق (۳-۱۱) و بیان رابطه بین قیمت نقدی و آتی به یک مدل فضای حالت می‌رسیم که با داشتن مدل فضای حالت و به کارگیری فیلتر کالمن می‌توان پارامترها و متغیرهای حالت (غیر قابل مشاهده) را تخمین زد.
بنابراین نیاز است که ار رابطه (۳-۱۱) را استخراج نمایم و در رابطه (۳-۳) قرار دهیم در این صورت داریم:
که معادل با است. حال با لگاریتم گرفتن از رابطه فوق داریم:
تفاوت رابطه قیمت اتی و نقدی در مدل‌ها بدون بازدهی آسایش و با بازدهی آسایش در عرض از مبدا است. معادله (۳-۱۳) را در فرم ماتریسی به صورت زیر می‌نویسیم. بنابراین رابطه بین قیمت لگاریتم قرارداد آتی و لگاریتم قیمت نقدی به صورت زیر نوشته می‌شود:
در معادله فوق فرض می‌شود که دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس باشد. برای تخمین این مدل نیز از یک قرارداد آتی برای استخراج قیمت نقدی استفاده می‌شود.
در معادلات (۳-۱۱)(۳-۱۴)(۳-۱۳) ، قیمت نقدی ( ) غیر قابل مشاهده و متغیر قابل مشاهده می‌باشد. بنابراین معادله (۳-۱۱) و معادله (۳-۱۴) به ترتیب بیانگر معادله انتقال و اندازه‌گیری می‌باشند. بنابراین مدل فضای حالت به صورت زیر نوشته می‌شود:
در این مدل نیز انحراف معیار قیمت نقدی ثابت است. در سیستم معادله فوق، باید مجموعه پارامترهای تخمین زده شوند. برای این امر از فیلتر کالمن استفاده می‌شود. جهت تخمین با بهره گرفتن از فیلتر کالمن باید ابتدا به صورت گسسته نوشته شود و سپس تخمین زد. بنابراین داریم:
که جمله خطا می‌باشد که معادل با است بنابراین دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس است.
مدل دو عاملی با بازدهی آسایش تصادفی
هدف از ارائه این مدل دو عاملی، بیان اثرات دینامیکی بازدهی آسایش و وابستگی قیمت نقدی نفت خام و بازدهی آسایش بر ارزش پروژه است. بنابراین در این بخش بازدهی آسایش به عنوان یک فاکتور تصادفی در نظر گرفته می‌شود. در بیشتر منابع مطالعاتی فرایند تصادفی برگشت به میانگین را برای بازدهی آسایش در نظر می‌گیرند. بنابراین مدل دو عاملی با فرض ریسک خنثایی به صورت زیر نوشته می‌شود.
در معادله فوق بیانگر قیمت نقدی برای نفت است. همچنین بیانگر سرعت برگشت به میانگین و بیانگر سطح بلند مدت بازدهی آسایش است و بیانگر دیفرانسیل جز وینر برای است. فرض می‌شود که اجزا وینر دارای همبستگی می‌باشند بنابراین داریم
ضریب همبستگی است. بیانگر امید ریاضی است.
بازدهی آسایش دارای قیمت( ) بازاری است که بایستی در نظر گرفته شود. برای این امر باید به معادله دیفرانسیل بازدهی آسایش را اضافه و کم نماییم[۱۰۶] که معادله مربوط به بازدهی آسایش به صورت زیر نوشته می‌شود:
با بکارگیر لم ایتو برای معادله دیفرانسیل قیمت نقدی نفت داریم:
