معادلات دیفرانسیل
۱-۱- معادلات دیفرانسیل[۱]
تعریف (۱-۱) معادلات دیفرانسیل: هر معادله شامل مشتق را یک معادله دیفرانسیل می نامیم که به دو نوع معمولی وجزئی تقسیم می شود.
تعریف (۱-۲) معادلات دیفرانسیل: رابطه بین متغیر و تابع وابسته و مشتقات مراتب مختلف آن را معادله دیفرانسیل معمولی می گویند که به صورت زیر تعریف می شود
مثال هایی از معادله دیفرانسیل معمولی به صورت زیر است:
تعریف(۱-۳) معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی : یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی معادله ای
شامل یک تابع نا مشخص از ۲ یا بیش از ۲ متغیر مستقل و مشتقات آن نسبت به آن متغیرهاست صورت کلی این گونه معادلات برای دو متغیر مستقل و و یک متغیروابسته عبارت است از:
تعریف (۱-۴) مرتبه معادله دیفرانسیل: بزرگترین مرتبه مشتق در یک معادله دیفرانسیل را مرتبه آن معادله دیفرانسیل می نامیم.
تعریف (۱-۵) درجه معادله دیفرانسیل: در یک معادله دیفرانسیل توان مشتق با بالاترین مرتبه را درجه معادله دیفرانسیل می نامیم.
تعریف (۱-۶) معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی خطی و غیر خطی
یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی نامیم هرگاه متغیرهای وابسته و مشتقات آن ها به صورت خطی ظاهر شود لذا در غیر این صورت معادله دیفرانسیل را غیرخطی می گویند
مثال/ نمونه ای از معادلات خطی:
نمونه ای از حالت غیر خطی:
تعریف (۱-۷) معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی شبه خطی:
معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را شبه خطی می نامیم اگر معادله نسبت به بالاترین مرتبه مشتقات جزئی که در معادله ظاهر می شود خطی باشد.
صورت کلی یک معادله دیفرانسیل شبه خطی برای دو متغیر مستقل خطی عبارتست از :
۱-۲- معادلات کلاسیک مربوط به فیزیک ریاضی [۳]
معادلات زیر که معادلات کلاسیک مربوط به فیزیک ریاضی می باشند:
معادله سهموی (۱-۱)
معادله هذلولوی (۱-۲)
معادله لاپلاس (۱-۳)
و این معادلات به ترتیب به معادله گرمای یک بعدی و معادلات موج یک بعدی و معادله لاپلاس دو بعدی مشهور هستند.
در حالت کلی می توان صورت کلی یک معادله هذلولوی شبه خطی مرتبه دوم را به شکل زیربیان کرد:
(۱-۴)
که در این معادله توابعی از می باشند
ولی بر حسب نیستند.
داریم: با فرض
(۱-۵)
فرض کنید منحنی در صفحه باشد مقادیر که مشتقات مرتبه دوم آن ها یعنی به گونه ای باشند که در روابط فوق صدق کنند خواهیم داشت:
s
(۱-۶)
(۱-۷)
با جایگذاری (۱-۷) و (۱-۶) در (۱-۵) داریم :
داریم: با ضرب این رابطه در
حال منحنی را طوری در نظر می گیریم که شیب مماس در هر نقطه روی آن ریشه معادله زیر باشد:
(۱-۸)
(۱-۹)
با توجه به اینکه معادله (۱-۸) یک معادله درجه دوم است می توان به کمک
