j=1,2,3,…,n

j=1,2,3,…,n

در این مدل کمترین مقدار حد بالای مجموع موزون خروجی­ها حداکثر می­گردد.
3-5-3- مدل پیشنهادی شماره 3
در برخی از مطالعات انجام گرفته در زمینه تحلیل پوششی داده‌ها وزن‌های مشترک، محققین با در نظر گرفتن نقطه ایده­آل و یا ایده­آل منفی به محاسبه کارایی واحدهای تصمیم ­گیری اقدام نموده ­اند و رتبه ­بندی کاملی از واحدها ارائه داده‌اند. از جمله این مطالعات، مقاله سان و همکاران (2013) می‌باشد، که دو مدل را برای ارزیابی عملکرد واحدهای تصمیم ­گیری ارائه می‌دهند. در مدل اول با در نظر گرفتن یک واحد ایده­آل و برابر با بودن کارایی واحد ایده­آل با یک، فاصله سایر واحدها را از واحد ایده­آل حداقل می­ کنند واحد ایده­آل را واحدی تعریف می­ کنند از حداقل ورودی­ ها استفاده می­ کند و حداکثر خروجی­ها را تولید می­ کند.

X_{i min} =min {x_i1, x_i2, …, x_in} i=1, 2 …, m ورودی iام واحد ایده­آل
y_{r max} =max {y_r1, y_r2, …, y_rn} r=1, 2 …, sورودی rام واحد ایده­آل
X_{i max} =max {x_i1, x_i2, …, x_in} i=1, 2 …, mورودی iام واحد ایده­آل منفی
y_{r min} =min {y_r1, y_r2, …, y_rn} r=1, 2 …, sورودی rام واحد ایده­آل منفی
در این مدل تابع هدف برابر با است با حداقل کردن اختلاف مجموع موزون ورودی­های واحد ایده­آل با مجموع موزون ورودی­های واحدهای تصمیم ­گیری به اضافه اختلاف مجموع موزون خروجی­های واحد ایده­آل با مجموع موزون خروجی­های هر یک از واحدهای تصمیم ­گیری. تابع هدف مدل ارائه شده توسط سان و همکاران بصورت رابطه تعریف می­ شود:

رابطه 3-8
آنها در مدل دوم خود، یک واحد ایده­آل منفی تعریف می­نمایند که عکس واحد ایده­آل است یعنی از بیشترین ورودی­ ها به کمترین خروجی­ها می­رسد. در این مدل نیز کارایی واحد ­ایده_­­آل منفی برابر با یک فرض می­ شود و فاصله سایر واحدهای تصمیم ­گیری از این واحد حداقل می­ شود. در این مدل محدودیتی در نظر گرفته می­ شود که اجازه نمی­دهد کارایی هر یک از واحدها از عدد یک کمتر شود. تابع هدف این مدل بصورت رابطه 3-9 تعریف می­ شود:

رابطه 3-9
همانطور که مشاهده می­ شود در اینگونه مدل­ها هدف حداقل سازی فاصله از نقطه ایده_­­آل و یا نقطه ایده­آل منفی می‌باشد.
در مدلی که در این قسمت ارائه می­ شود، با در نظر گرفتن واحد ایده­آل و ایده­آل منفی که به همان صورتی که سان و همکاران تعریف کرده ­اند، تعریف می­ شود، بطور همزمان فاصله واحدهای تصمیم ­گیری از واحد ایده­آل حداقل و از واحد ایده­آل منفی حداکثر می­ شود همچنین هدف دیگری با حداکثر سازی کارایی واحد ­ایده­آل منفی در نظر گرفته می­ شود.
به عبارت دیگر در این مدل فاصله هریک از واحدها از خط گذرنده از واحدهای ایده­آل و ایده­آل منفی در دستگاه محورهای مختصات به ترتیب حداقل و حداکثر می­گردد.
قبل از بیان مدل، مفهوم فاصله نقطه از خط در زیر بیان می­ شود.
نقطه M به مختصات (p₀,q₀) و خط L با معادله Ap+Bq+c=0 را در نظر گرفته. فاصله نقطه M تا خط L برابر با اندازه پاره خطی است که از نقطه M بر خط L عمود می­ شود (شکل 3-39) و از رابطه 3-10 محاسبه می­ شود
(p₀,q₀)M•
d
L
شکل 3-3-فاصله نقطه از خط k نقطه از خط
d=
رابطه 3-10
در تحلیل پوششی داده‌ها به ازای هر واحد تصمیم ­گیری می­توان نقطه­ای متناظر با آن در صفحه مختصات که محور افقی آن مجموع موزون ورودی­ ها و محور عمودی آن مجموع موزون خروجی­ها می‌باشد در نظر گرفت. به گونه ­ای که مجموع موزون ورودی­های هر واحد معرف فاصله از مبدأ در محور افقی و مجموع موزون خروجی­های آن نیز معرف فاصله از مبدأ در محور عمودی است. بطور کلی مختصات هر واحد تصمیم ­گیری در صفحه مختصات، بصورت رابطه 3-11 تعریف می­گردد:
DMU_j(  ,  )
رابطه 3-11
j=1,2,3,…,n
در شکل (3-4) نقاط IDMU و ADMU به ترتیب با مختصات (   ,) و (   ) بیانگر واحد ایده­آل واحد ایده­آل منفی می­باشند و نقاط A، B، C وD نیز نشان دهنده واحدهای تحت بررسی است که مختصات آن­ها نیز عبارتست از: j=1,2,…n (   ).
همانطور گفته شده در این مدل، مجموع فاصله هریک از واحدهای تصمیم ­گیری از خطوط گذرنده از مبدأ مختصات و نقطه واحد ایده­آل (IDMU) واحد ایده­آل منفی(ADMU) به ترتیب حداقل و حداکثر می­گردد. در شکل 3-4 نیم خط OL از نقطه ایده­آل می­گذرد، شیب این خط به علت آنکه واحد IDMU به عنوان یک واحد کارا در نظر گرفته شده است و مجموع موزون ورودی­ ها و خروجی­های این واحد با هم برابرند، برابر با یک می‌باشد و dⁱ_j فاصله واحد تصمیم ­گیری jام از این خط (اندازه پاره خط عمود از مکان واحد jام تا خط اید­ه­آل)، و نیم خط OF از نقطه ایده­آل منفی می­گذرد و d^a_j فاصله واحد jام تا خط OF را نشان می‌دهد.
برای محاسبه فاصله هر یک از واحدها از خطوط نیاز است که معادله هر یک از خط­ها مشخص باشد. از آنجایی که برای هر دو خط مختصات دو نقطه واقع بر آن (مبدأ مختصات و مختصات واحد ایده­آل برای خط OF و مبدأ مختصات و مختصات واحد ایده­آل منفی برای خط OF) در دسترس است لذا با داشتن دو نقطه معلوم برای هر یک از خطوط معادلات آن­ها بصورت زیر بدست می ­آید:
معادله خط OL:
O= (0,0) و ,  )  IDMU= (
===1شیب خط
رابطه 3-13
رابطه 3-12
معادله خط OL: q-0=1*(p-0) q=p p-q=0 نیمساز ربع اول
که در رابطه 3-13
و
j=1,2,3,…,n
می‌باشد.
معادله خط OF:
O= (0,0) و ,  )  ADMU= (
==1شیب خط
معادله خط OF: q-0=*(p-0) q=
رابطه 3-14