شرط اول در معادله (۱- ۵) داده شده است منجر به رابطه زیر میگردد:
هزینه تولید کل برابر است با :
با توجه به روابط خواهیم داشت :
در نتیجه مشتق معادله (۱-۳)، منجر به رابطه زیر میگردد:
معادله (۱-۴) قیدی است که باید اعمال گردد. زمانی که از تلفات چشمپوشی می شود و واحدهای تولیدی محدودیتی نداشته باشند، برای اقتصادیترین حالت بهره برداری، تمام نیروگاهها باید با هزینه تولید افزایشی مساوی کار کنند و قید تساوی معادله (۱-۴) نیز برقرار باشد. از معادله (۱-۸)، Pi به صورت زیر بدست می‌آید:
رابطه ارائه شده توسط معادله (۱-۹) به معادلات هماهنگی موسوم است. همه این معادلات تابعی از میباشند. میتوان معادله (۱-۹) را در معادله (۱-۳) قرار داد، بنابراین خواهیم داشت :
که آن را میتوان به صورت زیر نوشت:
برای بدست آوردن برنامه ریزی بهینه تولید، مقدار را که از رابطه(۱-۱۱) بدست آمده است، در معادله (۱-۹) قرار داده می شود.
۱-۴-۳ توزیع اقتصادی بار با چشم پوشی از تلفات و در نظر گرفتن محدودیتهای واحدهای تولیدی
قدرت خروجی هر واحد تولیدی نباید بیشتر از مقدار نامی آن باشد و همچنین نباید کمتر از مقداری باشد که برای بهره‌برداری پایدار دیگ بخار ضروری است، یعنی نباید از مقدار معینی کمتر باشد. بنابراین، تولید چنان محدود می شود که در بین دو محدوده از پیش تعیین شده حداقل و حداکثر قرار گیرد. مساله این است که تولید توان حقیقی هر یک از نیروگاهها چنان تعیین گردد که تابع هدف (یعنی هزینه تولید کل) تعریف شده با رابطه (۱-۳) کمینه گردد و قیود تساوی داده شده در رابطه (۱-۴) برقرار بوده و قیود نامساوی زیر رعایت شوند:
(۱-۱۲) i=1,…,ng
که در آنPi(min) و Pi(max) به ترتیب محدودیت حداقل و حداکثر تولید در نیروگاه i میباشد.
شرایط کوهن – تاکر تکمیل کننده شرایط لاگرانژ برای در نظر گرفتن قیود نامساوی به عنوان جملات اضافی است. شرایط لازم برای توزیع بهینه و با چشم پوشی از تلفات به صورت زیر است:
(۱-۱۳) برای
برای
برای
حل عددی آن به این صورت است که، برای یک تخمینی، Pi با بهره گرفتن از معادله هماهنگی (۱-۹) بدست می آید و تکرار آن قدر ادامه مییابد تا گردد. به محض اینکه خروجی هر یک از نیروگاهها به یک حداقل یا حداکثر برسد، خروجی آن نیروگاه در مقدار حداکثر یا حداقل تثبیت میگردد. در واقع، خروجی آن نیروگاه مقدار ثابتی خواهد داشت و تنها نیروگاه‌هایی که در محدوده مجاز قرار دارند باید در هزینه افزایشی مساوی کار کنند.
۱-۴-۴ توزیع اقتصادی بار با در نظر گرفتن تلفات و محدودیتهای واحدهای تولیدی
هنگامی که فواصل انتقال بسیار کم و چگالی بار زیاد باشد، میتوان از تلفات چشمپوشی کرد و توزیع بهینه تولید را با بهره‌برداری از تمام نیروگاهها با هزینه تولید افزایشی مساوی بدست آورد. هرچند، در یک شبکه بهم پیوسته بزرگ که توان در فواصل طولانی انتقال مییابد و چگالی بار مناطق کوچک است، تلفات انتقال عامل مهمی بوده و بر توزیع بهینه تولید اثر می گذارد. معمولا در عمل برای در نظر گرفتن اثر تلفات، کل تلفات انتقال به عنوان یک تابع درجه دوم و بر حسب توان خروجی واحدهای تولیدی بیان می شود. سادهترین تابع درجه دوم به صورت زیر است:
(۱-۱۴)
یک فرمول کلی‌تر شامل عبارت خطی و یک عبارت ثابت است که فرمول تلفات کرون نامیده می‌شود و عبارتست از:
(۱- ۱۵)
ضرایب Bij، ضرایب تلفات یا ضرایب –B نامیده میشوند. این ضرایب ثابت فرض شده و در صورتی که شرایط بهره‌برداری سیستم نزدیک به حالت پایهای باشد که ثابتهای B در آن محاسبه شده اند، میتوان دقت قابل قبولی را انتظار داشت.
مساله توزیع اقتصادی در واقع کمینهسازی هزینه تولید کل ( Ci) است که تابعی از خروجی نیروگاه میباشد. تابع هدف عبارتست از:
(۱-۱۶)
قید آن تساوی تولید با مجموع تقاضا و تلفات است که بصورت زیر میباشد:
(۱-۱۷)
وقیود نامساوی آن عبارتند از:
(۱-۱۸) i=1,…,ng
که در آن Pi(min) و Pi(max) به ترتیب محدودیت حداقل و حداکثر تولید نیروگاه i میباشند[۵].
با بهره گرفتن از ضریب لاگرانژ و افزودن جملات اضافی برای در بر گرفتن قیود تساوی خواهیم داشت:
(۱-۱۹)
باید درک نمود که استفاده از قیود بدین صورت است که وقتی باشد بوده و هنگامی که باشد خواهد بود. به عبارت دیگر، اگر قید از مقدار مجاز خود تخلف نکرده باشد، متغیر مرتبط با آن صفر بوده و عبارت مربوط در معادله (۱-۲۰) وجود نخواهد داشت. این قید زمانی فعال می شود که تخلفی رخ داده باشد. حداقل این تابع بدون قید، در نقطهای که مشتقهای جزئی آن نسبت به متغیرهای مربوط صفر شود تعیین میگردد:
(۱-۲۰)
(۱-۲۱)
