قضیه ۴.١.٠١. اگرf ی ن اشت دوآفین ناتبه ن باشد، آن اه
هر خط موازی با هر کدام از محورهای مختصات، به ی خط ن اشته م شود.
هر خط به ی سهم ، که مم ن است تبه ن باشد، ن اشته م شود.
سهم تاشده (Pf := f(Lf ناتبه ن است.
۴. تحدید ن اشتf به +L یا −L ی بهی است.
برهان. ١) با توجه به ویژگ تابع دوآفین، که بهازای یx یاy ثابت در سایر متغیرها ن اشت آفین است، اثباتاین قسمت واضح است.
تصویر ی خط تحت ن اشت دوآفین معادلهای پارامتری بهصورت زیر است
,۲f(t) = u + vt + wtو این معادله ی سهم است که مم ن است تبه ن باشد.
برای اثبات ناتبه ن بودن سهمPf ، برای این منظور ابتدا تصویر خطLf تحت ن اشتf با معادلهی پارامتری
((X(x),Y (x) با پارامترx را بهدست م آوریم. لذا با جایگذاری معادلهی (٣.۴) در معادلهی (١.۴) داریم
۱
(X,Y ) = f(x,x) = [(| + | )
b
= [(| dc | a+ | cb | c) + 2 | db | cx+ | bd | dx2],
| dc |
پس تصویر خط تاشده تحت ن اشتf ، ی سهم است. معادلهی بردار مماس به این سهم بهصورت زیر است
dx).
ناتبه ن بودن ن اشتf ، و اینکه بردارهایc وd مستقل خط هستند، ایجاب م کند که جهت بردار مماس ثابتنباشد. بنابراین سهم مذکور تبه ن نیست.
۴) ژاکوبین ن اشت دو آفینf ، عبارت است از |bd | x+ | dc | y− | cb |، که بجز روی خط تاشده همه جاناصفر م باشد. بنابراین با توجه به قضیه تابع مع وس ن اشتf ی بهی است هرگاه به هر کدام از +L یا −Lمحدود شود.
تبصره ۴.١.١١. سهمP صفحه را به دو ناحیه تقسیم م کند. در نظر م گیریم ˆP، نشان دهندهی ناحیه بستهخارج ازP باشد که خودP را نیز شامل م شود. همچنین مجموعهPˆf ناحیه سهم وار ن اشتf نامیده م شود.
برای هر نقطهی ۲p = (x,y) ∈ R، در نظر م گیریم
p . (۴.۴)
۴.١. هندسه توابع دوآفین
ش ل ۴.١: اش ال مربوط به تصویر خط تحت ی ن اشت دوآفین.
قضیه ۴.١.٢١. در نظر م گیریمf ی ن اشت دو آفین ناتبه ن باشد. از نمادLa برای خطx = a وLb برایخطy = b استفاده م کنیم. در اینصورت
اگر (A = (a,b ی نقطهی دلخواه روی خط تاشدهLf وTA خط مماس بهPf در نقطهی (f(A باشد، آن اه
.TA = f(La) = f(Lb)
.B = Lf ∩ Lb وA = Lf ∩ La که،f(p) = TA ∩ TB آن اه،p = (a,b) ∈ R2 اگ
f(L+) = f(L−) = Pˆf و برای هر ۲p = (x,y) ∈ R داریم (∗f(p) = f(p.برهان. برای اثبات به [۶] مراجعه شود.
قضیه ۴.١.٣١. (قضیه برانچن ): ی سهم توسط خطوط مماس به آن م تواند ساخته شود.
برهان. برای اثبات به [۶] مراجعه شود.
قضیه ۴.١.١۴. (قضیه لمبرت ): دایره محیط مثلث تش یل شده بهوسیلهی سه خط مماس به سهم ، از کانونسهم م گذرد.
برهان. برای اثبات به [۶] مراجعه شود.
با بهره گرفتن از قضیه فوق م توان ناحیهی سهم وار را بهصورت زیر ترسیم نمود.
۴۴
ش ل ۴.٢: نمایش ناحیه سهم وارPˆf .
در ش ل ١.۴ و در ش ل ٢.۴ مشاهده م کنیم که هر نقطهیp ∈ Pˆf ی مجموعه مختصات منحصر بفرد {A,B}دارد کهA وB روی خط تاشده هستند. علاوه بر اینp = TA ∩ TB . سهم تاشدهPf از لحاظ هندس م تواند
طبق ش ل زیر ایجاد گردد. روی خط تاشده چهار نقطهی ۴A1,A2,A3,A را مشخص کرده و چهار خط مماس
ش ل ۴.٣: نمایش سهم تاشده با کانونF .
۴TA1,TA2,TA3,TA را م سازیم. ی نتیجه مستقیم از قضیه برانچن این است که م توان ی سهم منحصربفردبا خطوط که مماس به آن هستند، ساخت. طبق آنچه تاکنون بیان گردید این سهم تاشده است. این سهم
م تواند مستقیماًً با بهره گرفتن از قضیه لمبرت نیز ایجاد شود. بنابراین کانونF ، به وسیله اشتراک سه دایره ایجادشده است. لذا انع اسF روی دو تا از خطوط مماس است که از دو نقطهی روی خط هادی م گذرند.
٢.۴ سیستمهای ت رار توابع دوآفین
تعریف ۴.٢.١. سیستم که مولدهای آن توابع دوآفین باشد را سیستم ت رار توابع دوآفین م نامیم.
فرض م کنیم □ مربع واحد با رئوس ۱(,۰),۱(,۱),۰(,۱),۰(,۰) باشد. تصویر □ تحت ی ن اشت دوآفینناتبه نf ، به محل خط تاشدهیLf نسبت به □ بست دارد
مطابق با ش ل ۴.۴، در حالت اول(که خطLf خارج از مربع قرار گرفته است) تصویر اضلاع مربع، ی چهارضلعمحدب است. در صورت که این حالت رخ دهد ن اشتf را سره م گوییم.
تبصره ۴.٢.٢. تابع دوآفین که نقاط ۱(,۰),۱(,۱),۰(,۱),۰(,۰) را بهترتیب به نقاط ۳p0,p1,p2,p م ن ارد،
۴.٢. سیستمهای ت رار توابع دوآفین ۴۵
ش ل ۴.۴: تصویر مربع واحد تحت ن اشتf .
عبارت است از
f(x,y) = p0 + (p1 − p0)x + (p3 − p0)y + (p2 + p0 − p1 − p3)xy.
لم ۴.٢.٣. فرض م کنیمf ن اشت دوآفین ناتبه ن سرهای باشد. اگر دامنهf محدود به مربع □ شود، آن اهf ن اشت ی بهی است.
