(۴-۳۸)
جمله میدان ناشی از بار­های سطحی در نقاط و نزدیک به می­باشد و علامت پریم روی انتگرال نشان دهنده این است که انتگرال روی نقاطی گرفته می­ شود که از فاصله دارند. اگر قطبش برای نقاط گسسته در نظر گرفته شود با نوشتن و و تبدیل انتگرال به مجموع به رابطه زیر می­رسیم:

(۴-۳۹)
که در این رابطه:
از طرفی ممان دو قطبی ذره به صورت زیر است:
با توجه به صفر بودن در داخل ذره، می­توان انتگرال حجمی بالا را به یک انتگرال سطحی تبدیل کرد:
که این رابطه برای نقاط گسسته به صورت زیر در می ­آید:
حال برای فرکانس داده شده، مقادیر را می­توان از رابطه (۴-۳۸) پیدا کرد و با قرار دادن در رابطه (۴-۳۴) و محاسبه ممان دو قطبی و مقایسه با رابطه (۴-۳۶) می­توان را پیدا کرد.
۴-۳-۲- خواص کلی
همانطور که بیان شد، جذب نوری یک ذره کوچک به خاطر تهییج مد­های نرمال پلاریتونی سطحی می­باشد که هر مد سهم مشخصی در جذب دارد. بنابراین پیدا کردن یک رابطه بین و این مد­های سطحی، می ­تواند مفید و قابل استفاده باشد. اگر ‌ ماتریسی باشد که ماتریس R را در رابطه (۴-۴۰) قطری می­ کند یعنی برای آن داریم: ، آنگاه با ضرب کردن رابطه (۴-۳۸) از طرف چپ با به رابطه زیر می­رسیم:
که عناصر قطری ماتریس می­باشند و روی اندیس­های و عمل جمع صورت گرفته است. با حل معادله (۴-۴۴) برای و محاسبه از رابطه (۴-۴۳) و مقایسه نتیجه به دست آمده با رابطه (۴-۳۵) به این نتیجه می­رسیم که باید به صورت مجموعی روی مد­های سطحی در نظر گرفته شده و به صورت زیر نوشته شود:
که در این رابطه فاکتور ناقطبیدگی^[۷۲] متناظر با مد ام می­باشد و به صورت زیر تعریف شده است:
برای یک ذره متقارن مانند مکعب و حتی کره، تانسور پذیرفتاری دی­الکتریکی قطری می­باشد و می­توان آن را به صورت زیر نوشت:
بنابراین پذیرفتاری دی­الکتریکی اسکالر ذره را می­توان به صورت زیر نوشت:
در مخرج این رابطه فرکانس تشدید مدهای نرمال را مشخص می­ کند در حالی که شدت قله تشدید را نشان می­دهد.
با تکرار محاسباتی مشابه، برای یک ذره با تابع دی­الکتریک در محیط با ثابت دی­الکتریک ، با در نظر گرفتن قطبش ایجاد شده در محیط اطراف و اینکه می­باشد به جای رابطه (۴-۳۹) به رابطه زیر می­رسیم:
که در آن t به صورت زیر تعریف شده است:
مجددا با بهره گرفتن از رابطه (۴-۳۹) و در نظر گرفتن این که و توجه به رابطه (۴-۴۹) داریم:
برای یک ذره متقارن مانند مکعب مجددا این رابطه را می­توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
حال اگر ذره­ای با حجم و تابع دی­الکتریک را در نظر بگیریم، می­توان را به صورت زیر نوشت:
که در این رابطه قطبش پذیری ذره می­باشد. با مقایسه با رابطه (۴-۳۴) و نتایج به دست آمده در روابط (۴-۵۰) و (۴-۵۲) می­توان رابطه زیر را برای به دست آورد:
۴-۳-۳- تانسور قطبش پذیری
زمانی که میدان اعمال شده بر ذره در جهت دلخواه تابیده شود، همان­طور که بیان شد قطبش القا شده در ذره به صورت معادله (۴-۵۳) داده می­ شود. این معادله را به صورت ماتریسی می­توان به صورت زیر نوشت:
که در آن تانسور قطبش پذیری می­باشد و نماد­های استفاده شده به صورت زیر می­باشند:
در مسائل پراکندگی همیشه دستگاه مختصات را به صورتی انتخاب می­ کنند که نسبت به نور برخوردی ثابت باشد. اگر این دستگاه مختصات مورد نظر باشد و جهت انتشار در راستای در نظر گرفته شود، آنگاه برای نور­های با قطبش یا قطبش طبق تئوری پراکندگی نوری بیان شده در قسمت (۴-۲)، روابط زیر را داریم [۸۲]:
برای محاسبه این سطح مقطع­ها نیاز به محاسبه مولفه­های قطبش نسبت به دستگاه مختصات پریم­دار می­باشیم. برای این کار توجه داریم که مولفه­های یک بردار در یک دستگاه مختصات، در یک دستگاه دیگر به صورت زیر محاسبه می­شوند:
که در آن ماتریس انتقال بین دو دستگاه مختصات می­باشد و مولفه­های آن به صورت و و به همین ترتیب تعریف می­شوند. بنابراین با توجه به روابط (۴-۵۵) و (۴-۵۹) به رابطه زیر می­رسیم:
که در آن ، ترانهاده ماتریس می­باشد و به دلیل عمود بودن محور­های مختصات با معکوس ماتریس برابر می­باشد.
۴-۳-۴- محاسبه سطح مقطع خاموشی در تقریب دوقطبی:
حال با توجه به آنچه که در مورد سطح مقطع خاموشی در قسمت ۴-۳-۳ بیان شد، با داشتن مقادیر و برای شکل با هندسه خاص می­توان سطح مقطع خاموشی را محاسبه نمود. اگر رابطه (۴-۵۴) را در رابطه (۴-۵۷) قرار دهیم و تابع دی­الکتریک ذره را به صورت مختلط در نظر بگیریم به رابطه زیر برای سطح مقطع خاموشی ذره به شکل کلی زیر می­رسیم:
که و به ترتیب قسمت­ های حقیقی و موهومی تابع دی­الکتریک ذره می­باشد و ثابت دی­الکتریک محیط اطراف می­باشد.
۴-۳-۵- ثابت دی­الکتریک متوسط
برای محاسبه سطح مقطع خاموشی برای ذره با لایه­ای بر روی آن با ثابت دی­الکتریک به دنبال روشی خواهیم گشت که بتوان ذره با لایه روی آن را با یک ذره با یک ثابت دی­الکتریک میانگین نشان دهیم. (شکل ۴-۲)
شکل ۴- ۲:نمایششماتیکتعریفتابعدی­الکتریکبرایذرهولایهرویآن
ممان دوقطبی میانگین یک ذره با جهت گیری دلخواه نسبت به میدان برخوردی مطابق با معادلات قبل به صورت زیر بیان می­ شود:
که برای یک ذره متقارن به صورت زیر تعریف می­ شود:
از طرفی میدان الکتریکی و قطبش میانگین در ترکیب بالا به صورت زیر تعریف می­ شود:
که در آن نسبت حجم هسته داخلی به حجم کل می­باشد. و به ترتیب میدان الکتریکی میانگین و و به ترتیب قطبش میانگین در هسته داخلی و لایه روی آن می­باشد. حال با توجه به روابطی که در زیر می­آیند و رابطه (۶۲):
به رابطه زیر برای می­رسیم:
که در رابطه (۴-۵۲) تعریف شده است.
۴-۳-۶- تقریب دوقطبی برای کره:
با حل معادله لاپلاس برای یک کره به شعاع که در میدان الکتریکی ثابت قرار گرفته است می­توان قطبش پذیری را به صورت زیر محاسبه نمود [۳۱]:
با مقایسه این نتیجه با رابطه (۴-۵۲) متوجه می­شویم که برای کره تنها یک مد سطحی با و وجود دارد. بنابراین با توجه به روابط (۴-۶۲) و (۴-۶۸) سطح مقطع خاموشی و تابع دی­الکتریک متوسط کره به صورت زیر به دست می­آیند:
۴-۳-۷- تقریب دوقطبی برای نانومیله:
همان­طور که در شکل ۴-۳ نشان داده شده است، نانومیله مورد بررسی در این پایان نامه استوانه­ای است که در دو سر ابتدایی و انتهایی آن نیمکره­هایی قرار گرفته است.
شکل ۴- ۳:شکلشماتیکنانومیله
در این قسمت این نانومیله را با بیضی­گونی که دو محور کوچک آن با هم برابرند تقریب می­زنیم. برای سه محور اصلی، می­باشد که ، و به ترتیب طول محورهای اصلی این بیضی­گون در راستای محور­های ، و دستگاه مختصات قائم می­باشند. مجددا با حل معادله لاپلاس برای این بیضی­گون [۸۳]، به این نتیجه می­رسیم که سه مد سطحی برای آن وجود دارد که مقادیر برای هر سه مد برابر می­باشد و ها به صورت زیر به دست می­آیند:
و بنابراین با توجه به روابط (۴-۶۱) و (۴-۶۸) سطح مقطع خاموشی و تابع دی­الکتریک متوسط میله به صورت زیر به دست می­آیند: