(۳-۲۱)

. ۹-۳شبیه سازی

۳-۹-۱ . حرکت هندسی براونی^[۸۷]

حرکت براونی را ابتدا بیولوژیستی بنام رابرت براون در سال ۱۸۲۷ مشاهده نمود. وی با انتشار مقاله ای با عنوان ” مشاهدات میکروسکوپیک ” حرکات کاتوره ای و نامنظم ذرات کوچکی در حد گرده های گل در محیط های گوناگونی همچون آب را مطرح نمود.
بعد از براون اولین کسی که تئوری حرکت براونی را مطرح ساخت لوئیس باکلر بود که در سال ۱۹۰۰ میلادی در تز دکترای خویش با عنوان ” تئوری حدس و گمان ” این حرکات زیگزاگی و تصادفی را مورد بررسی قرار داد. در سال ۱۹۰۵ میلادی آلبرت انیشتن نیز با کمک تئوری جنبشی ذرات و اصول دیگری از مکانیک وجود این حرکات کاتوره ای نامنظم را پیش بینی نمود.
مندلبرت حرکت براونی را به این صورت تعریف نموده است که حرکت بروانی تابعی است بصورت B(t) که برای گام های زمانی ثابت tΔ تعریف شده و تمامی مقادیر جزئی B(t)Δ ویژگی هایی به شرح ذیل را دارا بوده اند:

• • مستقل بوده، یعنی مقداری که در هر مرحله حاصل می شود از مقادیر مربوط به زمان های قبلی خویش مستقل بوده و بر وری مقادیر مربوط به زمان های بعدی خویش نیز اثری نداشته است.

• • ایزوتروپیک بوده، یعنی مقداری که در هر مرحله زمانی حاصل می شود در تمام جهات مقدار ثابتی داشته است.

• • تصادفی بوده، یعنی مقداری که در هر مرحله زمانی حاصل می شود بطور تصادفی و غیرقابل پیش بینی حاصل می گردد.

• • تابعی پیوسته بوده که در عین پیوستگی در هیچ نقطه ای نیز مشتق پذیر نبوده است.

یکی از مهمترین بخش هایی که بایستی در مورد شبیه سازی مونت کارلو مورد توجه قرار گیرد پیش بینی قیمت سهام در دوره آتی موردنظر بوده است. برای پیش بینی قیمت سهم در دوره آتی موردنظر روش های مختلفی موجود بوده است که یکی از مهمترین و در عین حال پرکاربردترین روش ها در این مورد که در اغلب منابع نیز به آن اشاره شده است استفاده از حرکت هندسی براونی بوده است.
 رابطه پیش بینی قیمت سهم در دوره آتی موردنظر با بهره گرفتن از تابع حرکت هندسی براونی بصورت ذیل بوده است:
(۳-۲۲)
در رابطه اخیر مقادیر اشاره شده بصورت ذیل تعریف می شوند:
s_t : قیمت سهم در زمان t
 : قیمت سهم در زمان ۰
µ : میانگین بازده سالانه سهم
σ : میانگین انحراف معیار سالانه سهم
ε : مقداری از دنباله تصادفی در بازه از صفر تا یک در روش شبیه سازی مونت کارلو
t : افق زمانی موردنظر
با انتخاب پارامترهای موجود در رابطه فوق می توان برای افق زمانی موردنظر قیمت سهم را پیش بینی نمود.
در روش شبیه سازی تاریخی از قیمت های گذشته و روند حرکتی آنها به عنوان مبنایی برای حرکت آتی قیمت سهام استفاده می شود در حالیکه در روش شبیه سازی مونت کارلو از شبیه سازی های متعدد با بهره گرفتن از رابطه حرکت هندسی براونی جهت پیش بینی حرکت آتی قیمت سهام استفاده می شود. (معارفیان ،۱۳۸۹، ص۱۰۱-۱۰۴)

۳-۹-۲٫ فرایند اجرایی شبیه سازی مونت کارلو

جهت محاسبه نوسان قیمت سهام با بهره گرفتن از شبیه سازی مونت کارلو بایستی در گام اول دنباله ای از اعداد تصادفی را با بهره گرفتن از یکی از تولیدکننده های اعداد تصادفی تولید نماییم.
در گام دوم با بهره گرفتن از تابع حرکت هندسی براونی که در بخش قبل آن را مطرح نمودیم و با جایگذاری پارامترهای مطرح در آن، قیمت سهم را در افق زمانی موردنظر پیش بینی می نماییم. در انتهای این مرحله به تعداد عدد تصادفی مشخص شده قیمت سهم موردنظر را که برای آن میانگین بازده و میانگین انحراف معیار را وارد نموده بودیم را در افق زمانی مشخص شده به دست می آوریم. در مرحله بعد با بهره گرفتن از قیمت های شبیه سازی شده به محاسبه نوسان می پردازیم.
برنامه نوشته شده در مجموع شامل سه تابع اصلی بوده است که هر کدام از آنها وظیفه بخصوصی را بر عهده داشته اند و به قرار ذیل بوده اند:

1. 1. تابع محاسبه اعداد تصادفی : این تابع به تعداد مورد نیاز عدد تصادفی را در بازه ای میان ۰ تا ۱ تولید می نماید.

1. 1. تابع محاسبه قیمت آتی سهم : این تابع با بهره گرفتن از تابع حرکت هندسی براونی می تواند قیمت آتی سهم را پیش بینی نماید.

1. 1. تابع اصلی : این تابع مقادیر مورد نیاز اولیه را مانند میانگین بازده و میانگین انحراف معیار و سایر موارد مورد نیاز را اخذ نموده و با بهره گرفتن از دو تابع پیشین مقادیر نوسان را محاسبه می کند.

دقت روش های شبیه سازی مونت کارلو به صورت نسبتی از  مطرح بوده است که در آن مقدار N بیانگر تعداد نقاط تصادفی بوده است. این رابطه نشان می دهد که جهت دستیابی به دقت مورد نیاز بایستی تعداد نقاط تصادفی و به بیانی دیگر تعداد تکرارهای مربوط به شبیه سازی را افزایش داد و هر چقدر این مقادیر را افزایش داد دقت جواب مسئله نیز بیشتر و خطای مربوط به آن کمتر خواهد شد.

۳-۱۰٫ روش های ارزیابی نتایج تحقیق

۳-۱۰-۱٫ معیارهای ارزیابی دقت نتایج پیش بینی

ارزیابی نتایج پیش بینی، و در واقع گزینش معیار ارزیابی و یا تابع زیان^[۸۸] مناسب از نکات حائز اهمیت در مساله پیش بینی است. در ادبیات پژوهشی این حوزه عمدتا از سه معیار ریشه میانگین مجذور خطاها^[۸۹] (RMSE) ، میانگین قدرمطلق خطاها^[۹۰] (MAE) و میانگین قدرمطلق درصد خطاها^[۹۱] (MAPE) استفاده شده است.
(۳-۲۳) 

(۳-۲۴)
 (۳-۲۵)
دو معیار نخست کاربرد بیشتری در زمینه سنجش میزان دقت پیش بینی دارند. معیار نخست از خانواده محاسبات میانگین خطای استاندارد و معیار دوم و سوم در مورد خطای مطلق است.

۳-۱۰-۲٫ آزمون دایبولد-ماریانو^[۹۲]

در این مطالعه برای تشخیص معنی داری آماری تفاوت در پیش بینی های مدل گارچ و شبیه سازی مونت کارلو از آزمون دایبولد-ماریانو استفاده شده است.
به منظور مقایسه قیمت های آتی پیش بینی شده توسط روش های مورد استفاده با مقادیر واقعی بازار از آزمون دایبولد-ماریانو که در سال ۱۹۹۵ میلادی مطرح شده استفاده شده است. در این آزمون ابتدا اختلاف خطاهای پیش بینی دو مدل رقیب بصورت ذیل محاسبه می شود: