این معادله در تحلیل‎های مالی فرمول ریشه مربع نامیده می‎شود و فرم شناسایی تابع کاب داگلاس را دارد. این تابع مشخص می‎کند تقاضا برای مقادیر معاملات به نرخ بهره نیز بستگی دارد.

تحلیل فوق، انتخاب بین نگهداری پول و درآمد حاصل از دارایی‎های درآمدزا (اوراق قرضه) را برای تأمین مالی معاملات در بردارد. در بکار بردن این انتخاب اگر فرد از نگهداری اوراق قرضه سود کند، تنها اوراق قرضه خریداری خواهد کرد و اما اگر نتواند سود بدست آورد، تنها پول نگهداری می‎کند. سود حاصل از نگهداری پول یا اوراق قرضه برابر است با درآمد بهره حاصل از نگهداری اوراق قرضه منهای هزینه حق العملی برداشت نقدی از اوراق قرضه:
با ماکزیمم کردن معادله فوق نسبت به M خواهیم داشت:
دقت شود که اگر r=0 باشد یا هزینه کل حق العملی فراتر از درآمد حاصل از نگهداری اوراق باشد، П غیر مثبت می‎شود.
بامول همچنین در رابطه با توزیع درآمد نکاتی را نیز بیان می‎کند. وی دو موقعیت زیر را درنظر می‎گیرد:
الف) اقتصادی باn فرد، اما یک نفر کل درآمد ملی Y را دارد و بقیه با درآمد صفر هستند.
ب) اقتصادی با n فرد مشابه، هر فرد به میزان مساوی درآمد Y/n را دارد.
تقاضای اسمی برای جامعه (الف) عبارتست از:
تقاضای اسمی برای جامعه (ب) عبارتست از:
از آنجایی‎که n>2 در نتیجه M^tr_a<M^tr_b. به عبارتی توزیع برابر درآمدی به تقاضای بالای مقادیر واقعی پول ختم می‎شود. به طور کلی مدل بامول به این نکته اشاره دارد که توزیع ناعادلانه‏تر درآمدها در اقتصاد، تقاضای کمتری برای مقادیر واقعی به دنبال خواهد داشت.
تحلیل فوق می‎تواند برای بنگاه نیز به کار رود. در مورد یک بنگاه با چندین شعبه آیا به کارگیری مدیریت متمرکز پول بهینه است یا مدیریت نامتمرکز پول؟! مدیریت متمرکز به این معنی است که برای هر بنگاه دپارتمان مالی مرکزی وجود دارد که با همه شعب سروکار دارد و دارای یک حساب واحد در رابطه با هر بار برداشت می‎باشد. برداشت توسط این واحد صورت گرفته و سپس میزان برداشت شده میان شعب تخصیص می‏یابد. مدیریت نامتمرکز پول به معنی حساب‎های جدا و تصمیمات جدا در رابطه با هر میزان برداشت است. بنگاه با مدیریت متمرکز وجوه دارای معادله‏ای مشابه معادله تقاضا برای جامعه (الف) می‎باشد و اگر مدیریت نامتمرکز وجوه را داشته باشند با معادله بعدی برای جامعه (ب) روبرو خواهد بود که هرچه تعداد شعب بیشتر، تعداد معاملات نیز بیشتر خواهد بود.^[۱۸]
۲-۱-۳-۲- نقدی بر نظریه بامول
در حال حاضر با بررسی نظریه پولی بامول در رابطه با تقاضای پول به نتایجی دست یافتیم که به صورت خلاصه آن‎ها را بیان می‎کنیم؛ این نکته را می‎دانیم که بامول تقاضای پول را مانند کینز با انگیزه مبادلاتی مطرح می‎کند اما با این تفاوت که بیان می‎کند این تقاضا نه تنها به درآمد جاری بلکه به نرخ بهره نیز بستگی دارد. به عبارت دیگر بامول برخلاف کینز که نقش نرخ بهره را در تقاضای پول بی اهمیت می‎دانست، بامول این نقش را مهم دانسته و نرخ بهره را در نظریه خود به عنوان یک متغیر مستقل در تقاضای پول وارد می‎کند.
بامول در تعریف پول به نوآوری‎ها در بخش مالی و تغییرات دارایی‎ها که بر تابع تقاضای M1 و M2 و تعریف وسیع پول اثر می‎گذارند اشاره می‎کند. از جمله:
ایجاد نوع جدیدی از دارایی‎های مالی و افزایش نقدینگی برخی از دارایی‎ها؛ مانند سپرده‎های دیداری حامل بهره، سپرده‎های پس‎انداز قابل چک کشیدن، صدور چک توسط بانک‎های بازار پول و شرکت‎های سرمایه‎گذاری بدون هزینه حق العملی برای خرید و فروش سرمایه
نوآوری در مکانیزم‏های واریز و برداشت؛ مانند دستگاه گویای اتوماتیک و انتقالات از طریق کامپیوتر
دارایی‎های الکترونیکی و یا کارت‎های هوشمند که مقادیر اسمی را ذخیره می‎کنند. از ویژگی‎های این کارت‎ها اجازه انتقال همه یا بخشی از این مقدار را به دیگری بدون وجود طرف سومی مانند بانک می‎‏باشد. همچنین انتقال مقدار دقیق را منجر می‎شوند و دیگر اینکه دارای امنیت بالاتری نسبت به پول رایج می‎باشند.
کارت‎های دیجیتال شبیه چک ها یا کارت‎های بدهی عمل می‎کنند و ترکیبی از فواید چک‎ها و کارت‎های بدهی و اعتباری را دارا می‎باشند.
با در نظر گرفتن موارد فوق بعلاوه پیدایش انتقالات الکترونیکی بین سپرده‎های بانکی و شرکت‎های سرمایه‎گذاری هزینه‎های رفت و آمد به بانک را کاهش داده است و از اینرو هزینه حق العملی انتقالات از سپرده دیداری به سپرده پس‎انداز و شرکت‎های سرمایه‎گذاری به طور قابل توجهی کم شده است که به عقیده بامول چنین واحدهای اقتصادی دیگر سپرده دیداری و پس‎انداز را به انگیزه مبادلاتی نگهداری نخواهند کرد.
بحث دیگری که بامول مطرح می‎کند درمورد رابطه میان توزیع درآمد و تقاضای پول می‎‏باشد. وی با درنظر گرفتن دو اقتصادی که با شرایط مشابه در یکی از آن‎ها یک نفر درآمد ملیY را دارد و بقیه با درآمد صفر هستند و در اقتصاد دیگر n فرد مشابه با میزان مساوی درآمد Y/n می‎باشند، به این نتیجه می‎رسد در اقتصادی که توزیع درآمد در آن عادلانه تر است تقاضای بالاتری برای مقادیر پولی وجود دارد. وی همین رابطه را به بنگاه‎ها بسط می‎دهد. این مسئله را بدین صورت مطرح می‎کند که اگر بنگاه استراتژی مدیریت متمرکز وجوه را انتخاب کند به دلیل آنکه تعداد معاملات کمتری را دربردارد سود بیشتری را نیز به همراه دارد و تقاضا برای نقدینگی وی کم خواهد بود. از طرفی عواملی چون امنیت و تسهیلات از مواردی هستند که بر این مرکزیت اثر می‎گذارند که نوآوری‎های دهه‎های اخیر در انتقالات الکترونیکی مدیریت متمرکز بالاتری را منجر شده‎اند. لذا انتظار کاهش تقاضای نقدینگی در دهه‎های اخیر را داریم. حال با توجه به این نکته بامول می‎توان به بررسی این موارد پرداخت که آیا توزیع درآمد در کشورهای مختلف عادلانه می‎‏باشد؟! و دیگر اینکه بنگاه‎ها تا چه حد از مدیریت متمرکز وجوه و سرمایه برخوردارند؟! همچنین می‎توان اثر این عوامل را روی تقاضای پول مورد بررسی قرار داد. البته این مسئله از حوزه این تحقیق خارج است و برای تحقیقات آتی پیشنهاد می‎گردد.
نکته قابل ملاحظه دیگری که بامول در نظریه خود بیان می‎کند اینست که در رابطه با انتخاب بین دارایی‎های پولی باید با درنظر گرفتن دارایی‎ها و درآمد بهره حاصل از نگهداری برخی از دارایی‎ها که به آن‎ها بهره تعلق می‎گیرد و نیز هزینه حق العملی که هر کدام دارند، تابع سودی را تشکیل داده و بیان کننده سودی است که از استفاده از دارایی‎ها حاصل می‎شود و با حداکثرنمودن این سود میزان واقعی هر یک از دارایی‎های پولی را بدست می‎آوریم.
۲-۱-۳-۳- تحلیل توبین بر تقاضای سفته‏بازی
به عنوان نقطه شروع باید گفت توبین به دنبال یافتن انطباق برای تقاضای پول کینز به انگیزه سفته‎بازی بوده است. سرمایه‎گذاری در اوراق قرضه ثابت و رانت‎های دائمی در نرخ بهره سالیانه r. از آنجایی‎که نرخ بهره‏ای که در بازار ثبت می‎شود در لحظه بعدی ناشناخته است، می‎تواند این نرخ توسط بنگاه‏ها یا عوامل اقتصادی تخمین زده و یا پیش‎بینی شود. نرخ بهره اوراق در تاریخ صدور با نرخ بهره بازار برابر است. بنابراین اگر نرخ آن به ارزش یک واحد پول رایج باشد، قیمت فعلی آن ۱/r خواهد بود. اگر نرخ بهره بازار همواره برابر r باشد، ارزش تولید سرمایه در انتهای همان سال برابر ۱/r خواهد بود و سرمایه‎گذار با هیچ زیانی روبرو نخواهد بود. اگر نرخ بهره کاهش یابد، قیمت اوراق بالا می‎رود در نتیجه سرمایه‏گذار سود می‎کند. از آنجایی‎که وضعیت نرخ بهره در زمان حال معین نیست لذا انتظارات موجود r_e را پیشنهاد می‏دهند. نرخ سود یا زیان سرمایه برابر است با:
و نرخ بازده کل پیش‎بینی شده برابر است با:
توبین دو دارایی را درنظر می‏گیرد: دارایی اول پول است که سهم آن در سبد سرمایه‏گذاری (پرتفولیو) برابر x₁ می‎باشد و نرخ بازده آن صفر است؛ از اینرو بدون ریسک است. دارایی دوم اشاره به دارایی ریسکی دارد که درآمد مثبتی را حاصل می‎دهد و سهم آن از پرتفولیو برابر x₂ می‎باشد. هر سهم بین صفر و یک است. بنابراین:
x₁ + x₂ = ۱
توبین با معرفی دارایی بدون ریسک، پول، بیان می‎کند که پرتفولیوی بهینه سرمایه‏گذار همیشه شامل بخشی از دارایی بدون ریسک و بخشی از دارایی ریسکی است. این نقطه شروع توبین مبتنی بر اصول کینز است که دارایی دوم با این فرض که توسط دولت صادر شوند می‎باشند. لذا خطر ورشکستگی وجود ندارد، اما ریسک بازار وجود دارد؛ زیرا قیمت اوراق معکوس نرخ بهره بازار هستند. بنابراین نرخ سود یک متغیر تصادفی است:
E (R_p) = X_2.E (R₂)
σ_p= X₂σ_۲
E (R_p) = (r/σ_۲).σ_p
که در آن R_p متوسط نرخ بازده سبد p (پورتفولیو)، R₂ متوسط نرخ بازده دارایی دوم در سبد دارایی، σ_p، انحراف معیار نرخ بازده پورتفولیو، σ_۲ انحراف معیار نرخ بازده دارایی دوم می‎باشد.
گام بعدی تعیین انتخاب پرتفولیو توسط سرمایه‏گذار است که در نقطه مماس منحنی بی‏تفاوتی با تابع مطلوبیت سرمایه‏گذار که حول بازده پرتفولیو ارائه می‎شود، U®، بدست می‎آید.
توبین فرض می‎کند U® نمایی است که بازده آن با امید ریاضی R اندازه‏گیری می‎شود و ریسک با واریانس که جذر آن انحراف معیار است اندازه‏گیری می‎شود. اگر U®=R، اشاره به این نکته دارد که مطلوبیت برابر با امید ریاضی R می‎باشد (یعنی μ) و از نقطه نظر رفتار اقتصادی به این معنی است که ماکزیمم کردن μ همانند ماکزیمم کردن بازده در سطح اطمینان است.
البته بهتر است به این تابع که متدولوژی آن پذیرفته شد، به عنوان قانون بازی نگاه شود که توسط کسانی که در بازارهای مالی فعالیت می‏کنند به عنوان انتظارات عقلایی پذیرفته شده است. در حقیقت هیچ کس نمی‎تواند اثبات کند که تابع آن‎ها تابع نمایی است یا انواع دیگر توابع. حال داریم:
که b درجه ریسک‎گریزی سرمایه‏گذار است که مطلوبیت نهایی وی همیشه برابر یا بزرگتر از صفر است. با ثابت نگهداشتن E[(U®]، منحنی بی‎تفاوتی حاصل می‎آید. نقطه مماس یکی از منحنی‏های بی‏تفاوتی با مرز کارا تعیین‎کننده نقطه‏ایست که سرمایه‏گذار انتخاب می‎کند.
بنابراین به عقیده توبین هر فرد عقلایی که ریسک‎گریز است و مطلوبیت انتظاری‏اش از R را بهینه می‎کند، بخشی از سرمایه‏اش را در پول و بخشی دیگر را در اوراق سرمایه‏گذاری می‎کند، حتی اگر وی مطمئن باشد که نرخ بهره پیش‏بینی‏شده‎اش کاهش نخواهد یافت. در نقطه مماس داریم:
چنین نتیجه می‎شود که با ثابت بودن سایر شرایط نسبت سرمایه‏گذاری در اوراق با نرخ بهره افزایش می‏یابد که در نتیجه آن سهم پول در پرتفولیو کاهش می‏یابد. به این معنی که تقاضای پول به انگیزه سفته‏بازی کاهش می‏یابد.
توبین همچنین اثرات کاهش ریسک را با ثابت درنظرگرفتن سایر شرایط چنین تحلیل می‎کند که اگر مراجع پولی نا اطمینانی ناشی از نرخ بهره را کاهش دهد، سپس σ_g کاهش می‏یابد که اثر مشابه افزایش نرخ بهره را دارد؛ بدین معنی که تقاضای پول کاهش می‎یابد.
تقاضای پول کل از تجمیع توابع تقاضای فردی با فرض توبین از مفهوم ثروت به عنوان جمع دارایی‎های پولی با دیگر دارایی‎ها که اصول تعادلی پرتفولیو می‎باشد، بدست می‏آید. این اصول بیان می‎کند که جامعه ثروتش را به سرمایه واقعی (اوراق) و دارایی‎های پولی تفکیک می‎کند به شیوه‏ای که این ترکیب جامعه را راضی کند.
که در روابط فوق W ثروت کل، B اوراق قرضه، دارایی نقد می‎باشد. با جایگزینی سهم اوراق بهادار در پرتفولیو (سبد سرمایه‏گذاری) با ارزش نسبی در نقطه مماس مرز کارا با منحنی بی‏تفاوتی، دارایی پولی اینگونه حاصل می‎شود:
ثابت می‎شود این تابع دارای شیب نزولی و مقعر است.
با اینحال تئوری توبین از این منظر که فرض کرده است پول یک دارایی بدون درآمد است و شبه پول را از محاسباتش خارج کرده است، قابل نقد است.^[۱۹]
۲-۱-۳-۴- نقدی بر نظریه کینز و توبین
با بررسی تقاضای سفته‎بازی کینز و بسط آن به‎عنوان تئوری پرتفولیو و همچنین روش توبین از این نوع تقاضای پول به این نتایج رسیدیم:
همانطورکه می‎دانیم کینز در تقاضای پول به انگیزه سفته‎بازی، پول را به عنوان دارایی فرض می‎کند که به انگیزه نگهداری ثروت تقاضا می‎شود. تقاضای سفته‎بازی به علت عدم اطمینان بازده حاصل از دارایی‎های جایگزین ایجاد شده که این دارایی‎های جایگزین به عنوان اوراق در مقابل پول قرار گرفته و نسبت به مقبولیت آن‎ها در مبادله، سررسید و یا قابلیت عرضه در بازار، برگشت‎پذیری، قابلیت تقسیم و هزینه تبدیل آن‎ها به پول بسیار متفاوت‎اند. تحلیل کینز تنها براساس پول – تنها دارایی‎های نقد و بدون ریسک دردسترس- و کنسول (دیون عمومی) بود. نا اطمینانی بر ارزش نهایی این دیون، تقاضای پول در اقتصاد را خواهد ساخت. اما اقتصادهای پیشرفته از زمان کینز انواع وسیعی از دارایی‎های بدون ریسک را ایجاد کردند که نرخ بهره مثبت می‎پردازند. در این اقتصادها، واحدهای اقتصادی با دسترسی به این چنین دارایی‎ها ترجیح خواهند داد آن‎ها را به‎عنوان جایگاه موقت قدرت خرید برای اهداف سفته‎بازی نگهداری کنند، تا پول رایج و سپرده‎های دیداری، که هیچ بهره‎ای پرداخت نمی‎کنند یا نرخ بهره کمتری نسبت به حساب‎های پس‎انداز بدون ریسک می‎پردازند. بنابراین تقاضا برای پول محدود M1 – و همچنین تعریف وسیع پول M2 شامل سپرده پس‎انداز که در رقابت با شرکت‎های سرمایه‎گذاری هستند- باید از انگیزۀ معاملاتی و احتیاطی نشأت گرفته باشد تا از انگیزه سفته‎بازی. همین نتیجه را بگونه‎ای دیگر در تئوری انتخاب پرتفولیو و تحلیل توبین مطرح می‎شود.
تئوری انتخاب پرتفولیو برگرفته از نظریه کینز رابطه بین عایدی دارایی‎ها و پرتفولیوی بهینه سرمایه‎گذار را توضیح می‎دهد. این رابطه با بهره گرفتن از توزیع احتمال ذهنی فرد از بازده حاصل از دارایی‎های در دسترس وی شکل گرفته که برای ساده سازی فرض توزیع احتمال نرمال را درنظر گرفته تا تنها بازده مورد انتظار (امید ریاضی) و انحراف استاندارد بازده حاصل از پرتفولیو را محاسبه کند و دو فرض را پیش روی فرد قرار داده: حداکثر کردن ثروت مورد انتظار و حداکثر کردن مطلوبیت ثروت مورد انتظار. سپس با تعریف افراد به عنوان ریسک‎گریز، ریسک‎پذیر و بی‎تفاوت نسبت به ریسک، از آنجایی‎که نگرانی ما درباره سرمایه‎گذاران است و سرمایه‎گذاران خود افزایش در ثروت خالص انتظاری از سرمایه و کاهش در ریسک را ترجیح می‎دهند، این فرض را مطرح می‎کند که افراد ریسک‎گریزند. سپس با ارائه منحنی بی‎تفاوتی برای فرد ریسک‎گریز و فرضیه مطلوبت انتظاری این نتیجه را می‎گیرد که فردی که ریسک را با بازده زیاد و احتمال کم خریداری می‎کند، قسمتی را به صورت مطلوبیت نهایی کاهنده و قسمتی را به صورت فزاینده دربردارد. در نهایت با تعریف مکان هندسی فرصت، انتخاب بهینه فرد را نقطه تماس بالاترین منحنی بی‎تفاوتی با مکان هندسی فرصت می‎داند و این ترکیب بهینه می‎تواند شامل دارایی‎های ریسکی و بدون ریسک باشد. این نکته را نیز باید خاطرنشان کرد که در دوره‎های هراس مالی که باعث افزایش احتیاط فرد و افزایش مخاطره‎آمیزی دارایی‎ها می‎‏باشد، تقاضای دارایی‎های بدون ریسک افزایش می‎یابد. همچنین کاهش و افزایش در قیمت دارایی‎های ریسکی، تقاضای دارایی بدون ریسک و دارایی ریسکی نیز تغییر می‎کند.
توبین نیز تقاضای پول را با بهره گرفتن از تابع مطلوبیت و با در نظر گرفتن دو دارایی ۱٫ پول به‎عنوان دارایی بدون ریسک با بازده صفر یا مثبت ۲٫ دارایی ریسکی با بازده مثبت با تحلیلی هندسی بدست آورد. و ثابت می‎کند تقاضای پول به بازده انتظاری (امید ریاضی) و انحراف استاندارد و به ثروت تخصیص یافته بستگی دارد و هرنوع جابجایی مکان هندسی فرصت به علت تغییرات در بازده و ریسک آتی – مانند آنچه در بازار سهام اتفاق می‎افتد – تقاضای پول را تغییر خواهد داد. این تحلیل از آنجایی‎که با استناد به منحنی‎های بی‎تفاوتی است، تابع مطلوبیت اصلی آن اوردینال می‎تواند باشد.