اضافه کردن جمله ای به شکل که در شاخص های پادمتقارن است:
(۱-۱۱۳)
(۱-۱۱۴)
در فضای ریمانی روش ساده ی دیگری وجود داردکه معمولا در نسبیت عام از آن استفاده می شود. برای این منظور وردش S را در ازای وردش متریک حساب می‌کنیم. این وردش کمیت پایسته ای به دست می دهد که همان تانسور انرژی ماده است. وردش متناظر با میدان مادی از کنش ماده، منجر به معادله ی میدان ماده در حضور گرانش می شود. پس ابتدا کنش کل را این گونه می نویسیم:
(۱-۱۱۵)
وردش قسمت گرانش به دست می دهد:
(۱-۱۱۶)
برای وردش قسمت مادی،با توجه به اینکه وردش را در مرز صفر می گیریم، به دست می آوریم:
(۱-۱۱۷)
حالا تعریف می‌کنیم:
(۱-۱۱۸)
در این صورت:
(۱-۱۱۹)
به این ترتیب وردش کنش کل، S=Sg+SM، می دهد:
(۱-۱۲۰)
که درآن
از طرف دیگر، با توجه به اینکه کنش SM یک کمیت نرده ای است، تغییرات آن را تحت تبدیل مختصات می توانیم صفر بگیریم. اگر این تغییر را به ازای تغییر محاسبه کنیم به همان عبارت می رسیم. حال تغییر مختصات را این گونه تعریف می‌کنیم:
(۱-۱۲۱)
به ازای این تغییر می توان نشان داد:
(۱-۱۲۲)
با نشاندن این تغییر بر حسب مشتقات به دست می آوریم:
(۱-۱۲۳)
اما چون تابع های دلخواهی اند، پس باید نتیجه گرفت:
(۱-۱۲۴)
به این ترتیب نتیجه می گیریم این تانسور انرژی نسبیت عامی پایسته است و با صفر شدن تانسورانیشتین در معادله انیشتین سازگار است .
فصل دوم: از معادلات میدان اینشتین تا گرانش مغناطیسی
فصل دوم
از معادلات میدان اینشتین تا گرانش مغناطیسی
۲-۱ از معادلات میدان اینشتین تا گرانش مغناطیسی
نظریه نسبیت عام، گرانش مغناطیسی را به عنوان میدان ناشی از حرکت جرم پیش بینی می‌کند. یکی از حالت‌های مهم در این مورد، حرکت چرخان یک توزیع جرم کروی است. همان طور که می‌دانیم چنین توزیع جرمی زمانی که در حال سکون قرار دارد در خارج خود یک میدان شوارتزشیلد تولید می‌کند که متریک آن به صورت زیر است:
(۲-۱)
که در آن شعاع شوارتزشیلد است [۱۸].
هنگامی که میدان گرانشی ضعیف و ایستا[۱۱] است و ذرات در میدان گرانشی با سرعتی کم (در مقایسه با سرعت نور) حرکت می‌کنند، نظریه نسبیت عام اینشتین به گرانش مغناطیسی را پیش بینی می‌کند. در حالتی که توزیع جرم محدود است، میدان در فاصله‌های بسیار دورتر از شعاع شوارتزشیلد[۱۲] ضعیف می‌باشد و در واقع میدان گرانشی به عنوان اختلالی در فضا- زمان مینکوفسکی[۱۳] در نظر گرفته می‌شود، به طوری که متریک فضا-زمان مختل شده توسط میدان گرانشی ضعیف به صورت
(۲-۲)
است که در آن ، متریک مینکوفسکی و ، اختلال است. در این حالت قدر مطلق پتانسیل‌های اختلالی معمولاً بسیار کوچک می‌باشند و برای منظومه شمسی تقریباً داریم [۱۰]:
۲-۲ معادلات خطی میدان
از معادله اینشتین شروع می‌کنیم:
(۲-۳)
انحرافات کوچک از فضا زمان مینکوفسکی مانند (۱-۲) است.
اگر تبدیل این مؤلفه‌ها را به صورت زیر در نظر بگیریم:
(۲-۴)
در نقطه‌ی P، تحت تبدیلات بسیار کوچک مختصات خواهیم داشت:
(۲-۵)
با جایگذاری رابطه قبل در (۴-۵) عبارت زیر حاصل می‌شود:
(۲-۶)
تمام محاسبات را تا مرتبه اول از ، و مشتقات آن‌ها انجام می‌دهیم؛ از این رو خواهیم داشت :
