: مسافت بین دو مشتری i وj
: ضریب احتمال تقاضای مشتری
: میزان جریمه
از آن­جا که مسافت بین دو مشتری را با بیان کرده­ایم، با توجه به ماهیت ماتریس مسافت، درصورتی­که مقدار باشد ماتریس از نوع متقارن و در نتیجه مسأله از نوع متقارن خواهد بود در غیر این­صورت مسأله از نوع نامتقارن می­باشد. در حالت متقارن، فاصله­ی دو شهر به جهت حرکت بستگی ندارد.

تعریف تابع هدف
در Shanmugam et al. (2011) تابع هدف به صورت یک تابع دو بخشی تعریف شده است که جواب نهایی، از انتخاب کمترین بخش آن بدست می ­آید. ولی در روش پیشنهادی، تابع هدف به صورت سه بخش تعریف شده است که جواب نهایی مینیمم مجموع این سه بخش می­باشد.
تابع هدف روش پیشنهادی به شرح زیر معرفی می­ شود:
(۴-۲)
که در ارتباط با آن:
(۴-۳)
(۴-۴)
(۴-۵)

تحلیل تابع هدف
: هزینه مورد انتظار در مورد رفتن به مشتری بعدی
: هزینه مورد انتظار برای بارگیری مجدد

: هزینه مورد انتظار در مورد تقاضاهای سرویس داده نشده
با توجه به علائم، پارامترها و متغیرهای تعریف شده، مدل ریاضیِ روش پیشنهادی، متشکل از یک تابع هدف سه بخشی است. تابع هدف مدل فوق از ۳ جزء تشکیل گردیده است:
جزء اولِ تابع هدف، در راستای کاهش مسیرهای (مسافت) طی شده از یک مشتری به مشتری دیگر می­باشد و جزء دومِ تابع هدف نیز سعی در کم کردن مسیر (مسافت) طی شده از مشتری کنونی به انبار و از انبار تا مشتری بعدی را دارد که هر دو جزء، مربوط به هزینه­ های سفر می­باشند. جزء سومِ تابع هدف، که با توجه به شرایط مسأله (پویا بودن) به مدل اضافه گردیده است، سعی در کاهش میزان جریمه ناشی از عدم برآورده کردن میزان تقاضای مشتری دارد که این جزء مربوط به هزینه­ های عدم سرویس به مشتریان می­باشد.

تشریح اجزای الگوریتم ژنتیک بر حسب روش پیشنهادی
برای حل مسأله VRPSD در یـافتن بهینه­ترین مسیر، از الگوریتم ژنتیک استفـاده شده است. همان­طور که در فصل دوم نیز ذکر شد، یکی از انواع الگوریتم­های ژنتیک، الگوریتم ژنتیک جایگشتی می­باشد که توسط آن می­توان مسائل جایگشتی را حل نمود.
در ادامه مراحل الگوریتم ژنتیک را با روش پیشنهادی تطبیق می­دهیم.

کدگذاری
همان­طور که در فصل دوم گفته شد، هر کـدام از راه­حل­هـای موجود که ارائـه دهنده حلی برای مسأله هستند، کـروموزوم نامیده می­شوند. قبل از این که الگوریتم ژنتیک برای یک مسأله اجرا شود، باید یک روش برای کد کردن ژنوم­ها به زبان کامپیوتر به­کار رود.
هر کروموزوم نشان دهنده یک راه حل می­باشد که نحوه­ قرارگیری این راه­حل­ها به گونه ­ای است که عضو تکراری در آن­ها دیده نمی­ شود؛ هم­چنین به دلیل مواجه شدن با جایگشت­های مختلف از مجموعه راه­حل­ها و مهم بودن ترتیب قرارگیری اعـداد، ما در این مسـأله از کـدینگ جایگشتی برای کدگـذاری هر کروموزوم استفـاده می­کنیم به این­صورت که هر کروموزوم توالی گره­های تقاضا (مشتریان) در مسیرها را نشان می­دهد. شکل (۴-۱) بیانگر این مطلب می­باشد.

شکل(۴-۱): نمونه ­ای از کروموزوم­ها در روش پیشنهادی

جمعیت
همان­طور که در فصل دوم گفته شد، الگوریتم ژنتیک یک تکنیک بهینه­سازی تصادفی است که با یک مجموعه­ اولیه از راه­ حل­های تصادفی شروع می­ شود که به آن جمعیت گفته می­ شود. در روش پیشنهادی، جمعیت اولیه به صورت تصادفی و با بهره گرفتن از «تابع تولید اعداد تصادفی جایگشتی(randperm(n))» تولید شده است. اندازه جمعیت برابر با ۱۰ درنظر گرفته شده است. در شکل (۴-۲) نمونه­هایی از اعضای جمعیت (یعنی کروموزوم­ها) نشان داده شده ­اند.
درVRP باید به این نکته توجه کرد که هر کدام از راه­حل­ها باید از انبار شروع و به انبار ختم شوند. در شکل (۴-۲) این نکته به تصویر کشیده شده است به­ طوری­که ابتدا و انتهای هر کروموزوم، عنصر انبار (D) قرار گرفته است. هم­چنین ملاحظه می­ شود که ژن­های میانی نیز می­توانند حاوی مقدار D باشند و این بیانگر تعداد رفت و برگشت­های وسیله­نقلیه به انبار می­باشد.