(A-46)
لم سه-  اگر و تنها اگر داشته باشیم:
(A-47)
اثبات- با توجه به شکل واضح است که :
(A-48)
در نتیجه خواهیم داشت:
(A-49)
لم چهار- اگر  و  دو عدد فازی مثلثی با  باشند آنگاه داریم:
(A-50)
شکل ۹-A- امکان رخداد A با توجه به B
a₁ b₁ a₂ b₂ a₃ b₃

لم پنج- اگر  و  دو عدد فازی مثلثی با  باشند آنگاه داریم:
(A-51)
شکل ۱۰-A- الزام رخداد A با توجه به B
a₁ b₁ a₂ b₂ a₃ b₃

۲-۶-A-غیرفازی معیار جمع موزون امکان و الزام و معیار اعتبار فازی
فرض کنید پارامترهای فازی به کار رفته در مدل سازی ریاضی(برای مثال  ) را بتوسط پارامتر  نشان دهیم. هدف پیدا کردن معادل غیر فازی محدودیت های به فرم زیر می باشد:

(A-52)
نکته۱: توابع هدف به فرم  را می توان با در نظر گرفتن  در قالب محدودیت بالا قرار داد.
نکته۲: توابع هدف به فرم  را می توان با در نظر گرفتن  در قالب محدودیت بالا قرار داد.
نظریه: اگر بگیریم  که در آن  یک عدد فازی با تابع عضویت پیوسته  می باشد آنگاه داریم  اگر و تنها اگر داشته باشیم  که در آن  برابر است با
(A-53)
اثبات: نامساوی  را می توان به شکل  باز نویسی نمود . از آنجا که  پیوسته است، یک عدد حقیقی F می توان یافت به گونه ای که داشته باشیم  .بگیرید  . با توجه به پیوستگی  و خصوصیات اعداد فازی رابطه زیر برقرار می باشد:
(A-54)
توجه کنید که  با جایگزین کردن  با عددی بزگرتر ، کاهش خواهد یافت. در نتیجه معادل غیرفازی عبارت  برابر  می باشد.
نظریه: اگر بگیریم  که در آن  یک عدد فازی با تابع عضویت پیوسته  می باشد آنگاه محدودیت  برابر است با  که در آن داریم:
(A-55)
اثبات : می توانیم  را به صورت  بازنویسی نمائیم. اثبات به دو زیر بخش تقسیم می شود:
حالت اول) هنگامی که داشته باشیم  :
ازآنجائیکه  یک عدد فازی با تابع عضویت پیوسته می باشد، عدد حقیقی F وجود دارد به قسمی که  . بگیرید  . با توجه به پیوستگی تابع عضویت و خصوصیات اعداد فازی خواهیم داشت:
(A-56)
و  . با توجه به رابطه میان الزام، امکان و میانگین ایندو مشخص است که خواهیم داشت:
(A-57)
حالت دوم) هنگامی که داشته باشیم  :
برای این حالت، ابتدا توجه می کنیم که رابطه  برقرار می باشد. حال  برابر می شود با  . از آنجائی که معیار امکان و الزام را می توان به هم تبدیل نمود ( اصطلاحا دوگان یکدیگر می باشند) پس  برابر با  می باشد.
با بهره گرفتن از نظریه قبل مشاهده می شود که  برابر است با  که در آن داریم:
(A-58)
لم شش- اگر بگیریم  که در آن  یک عدد فازی مثلثی باشد،آنگاه برای هر  محدودیت  برقرار است اگر و تنها اگر داشته باشیم  که در آن  برابر است با :
(A-59)
لم هفت-اگر بگیریم  که در آن  یک عدد فازی مثلثی باشد،آنگاه برای هر  محدودیت  برقرار است اگر و تنها اگر داشته باشیم  که در آن  برابر است با :
(A-60)
لم هشت- برای معیار اعتبار فازی (که همان  با پارامتر  می باشد) معادل غیر فازی بالا به فرم زیر در می آید:
(A-61)
۷-A- برنامه ریزی ریاضی فازی با بهره گرفتن از معیارهای الزام، امکان و اعتبار فازی
همانطور که قبلا اشاره شد مفهوم بهینه سازی یک تابع امکانی و شرایطی که یک تابع امکانی کمتر از یک مقدار فازی باشد در برنامه ریزی ریاضی سنتی قابل رفع و رجوع نمی باشد. در این بخش به بحث در مورد مفاهیم بهینه سازی توابع امکانی در شرایطی که در آن مقدار تابع کمتر از یک مقدار فازی ویا یک عدد غیرفازی باشد به منظور تبدیل یک مساله برنامه ریزی امکانی به حالت کلاسیک آن می پردازیم.