عنوان صفحه
جدول ۳-۱: نماهای مقیاسی رشد و زبری برای سطوح رشد یافته از نسشت ذرات خطی یکسان بر روی زیر لایهای با طول . نتایج ارائه شده به ازای ۲۰۰ بار میانگین گیری میباشد و میانگین خطای کلیه داده ها از مرتبهی وکوچکتر از آن است………………………………………………………………………………………………………………………………………۴۵
جدول۳-۲: نماهای رشد و زبری سطوح رشد یافته از نشست ذرات با طولهای متفاوت برای زیر لایهای با طول . میانگین خطای کلیه داده ها از مرتبهی و کوچکتر از آن میباشد………………………………………………………………………………………………………………………۴۷
مقدمه
مطالعه فرایند رشد و ساختار سطح کاربردهای عملی فراوانی در علوم و تکنولوژی دارد و بخش عمده ای از فیزیک حالت جامد و علم مواد را تشکیل میدهد. در واقع اکثر خواص مواد به ساختار و نحوه شکل گیری آنها وابسته است. فرآیندهای رشد سطح نه تنها در گسترهی وسیعی از کاربردهای فیزیکی بلکه در شیمی، بیولوژی و علوم مهندسی نیز نقش مهمی را ایفا می کند. از این رو تا کنون تحقیقات فراوانی مبتنی بر روش های عددی و یا تحلیلی برای بررسی خواص گوناگون فرآیندهای رشد سطح صورت گرفته است[[۱]و[۲]].
در واقع شکل گیری سطوح می تواند ناشی از فرآیندهای متفاوتی باشد. برخی سطوح در نتیجهی حرکت و گسترش فصل مشترک[۳] ایجاد شده از شارش سیال در محیط های ناهمگن یا بی نظم شکل می گیرند که بطور مثال به سطوح حاصل از پیشروی آب یا جوهر در کاغذ میتوان اشاره کرد. برخی دیگر از سطوح در اثر کاهش ذرات بوجود می آیند، مانند سطوحی که در اثر فرسایش، خوردگی و یا پوسیدگی ایجاد میشوند[[۴]]. سطوحی نیز در اثر اضافه شدن ذرات رشد می کنند مانند باکتریها، تومورها و بافتهای بیولوژیکی [۳و[۵]] و یکی از مهمترین سطوحی که توسط فرآیندهای رشد شکل میگیرند، لایه های نازک هستند که از انباشت های اتمی حاصل می شوند[۵-۸] و بدلیل خواص ویژهای که دارند کاربردهای فراوانی در علوم و تکنولوژی دارند.
همگی این سطوح در طی فرایند رشد، زبر یا ناهموار میشوند که این ویژگی ناشی از ماهیت تصادفی فرایند رشد می باشد که نقشی اساسی در شکل گیری نهایی سطح مشترک دارد. لازم به ذکر است که منشأ این تصادف بستگی به فرایند رشد مورد مطالعه دارد. بعنوان مثال درمورد پیشروی آب یا جوهر در کاغذ، منشأ این تصادف طبیعت بی‌نظم محیطی است که فصل مشترک درآن گسترش مییابد و در فرایند انباشت اتمی، تصادفی بودن مکانهایی که شار ذرات فرودی در بازههای زمانی نامعین تصادفی به آنها می رسند و همچنین حرکت براونی [۶]ذرات روی سطح در طی فرایند پخش سطحی مسئول این ماهیت تصادفی است.
زبری سطوح روی خواص آن اثر می گذارد. بعنوان مثال زبری در خواص اپتیکی لایه های نازک و پراکندگی مؤثر از این لایه ها نقش مهمی بر عهده دارد[۹]، همچنین در چسبندگی لایه ها به یکدیگر و اصطکاک آنها و یا خاصیت الکتریکی لایه ها مؤثر است[۱۰-۱۲].
در مطالعه فرآیندهای رشد علاوه بر ساختار نهایی سطح، دینامیک رشد یعنی تحول زمانی سطح نیز از اهمیت زیادی برخوردار است. در حقیقت بررسی تحول ناهمواری یا زبری سطح در طی پدیده رشد می تواند کمک بسزایی در فهم و کنترل این پدیده داشته باشد و از لحاظ کاربردی مهم باشد[۱۳-۱۵].
یکی از مفاهیم مدرنی که برای مطالعه دینامیک زبری مورد استفاده قرار میگیرد مقیاس بندی[۷] است. در واقع بسیاری از کمیتهای قابل اندازه گیری از روابط مقیاس بندی[۸] سادهای تبعیت می کنند. بعنوان مثال برای تعداد زیادی از سیستمها پهنای فصل مشترک با توانی از زمان افزایش مییابد و در یک مقدار معین اشباع می شود که این مقدار بصورت یک قانون توانی با سایز سیستم افزایش می یابد.
مطالعه چنین روابط مقیاس بندی به ما اجازه میدهد تا کلاسهای جهانی[۹] را تعریف کنیم. مفهوم جهان شمولی که محصول مکانیک آماری مدرن میباشد، به بیان این حقیقت می پردازد که فاکتورهای ضروری کمی هستند که در تعیین نماهای مشخص کننده روابط مقیاسی نقش دارند. بنابراین سیستمهایی که در نگاه اول هیچ ارتباطی بین آنها وجود ندارد رفتار یکسانی دارند یعنی دارای نماهای بحرانی یکسانی هستند و در یک کلاس جهانی قرار میگیرند.
شکل گیری و تغییر ناهمواری سطوح در حال رشد تحت تأثیر عوامل زیادی است که تقریباً تشخیص همه آنها غیر ممکن است. یک دانشمند همیشه امیدوار است که تعداد کمی قوانین اصلی برای تعیین شکل و دینامیک سطوح موجود باشد که بتوان با در نظرگرفتن آنها به معرفی مدلهایی پرداخت که خواص اساسی فرایند رشد را توصیف می کنند.
در چند دهه اخیر مطالعات زیادی برای بررسی دینامیک رشد لایه های نازک انجام شده و مدل های زیادی ارائه گردیده که با توجه به این مدلها مشخصاتی که از این سطوح بدست می آید متفاوت است. از جمله این مدلها میتوان به مدل انباشت تصادفی[۱۰][۱]، مدل انباشت تصادفی با واهلش سطحی[۱۱][۱۶]، مدل انباشت پرتابی[۱۲][۱۷و۱۸]، مدل جامد روی جامد محدود شده[۱۳][۱۹] و مدل کاردر –پاریزی-ژانگ[۱۴][۲۰] اشاره کرد. مدلهای دیگری نیز پیشنهاد شده که در آنها دو یا چند مدل انباشت با هم ترکیب شده اند[۲۱و۲۲] و یا نشست دو نوع ذره مورد بررسی قرار گرفته است[۲۳-۲۵] تا بتوان با بهره گرفتن از آنها زبری سطوح واقعی را توصیف کرد. همچنین اخیراً نشست ذرات با اندازه های مختلف بهروش انباشت تصادفی مورد بررسی قرار گرفته است[۲۶-۲۸]. نشست ذرات با اندازه های مختلف یکی از راههای تولید سطوح متخلخل است که این سطوح کاربردهای فراوانی در حافظه های مغناطیسی[۲۹]، سلول های خورشیدی[۳۰] و نانولولههای کربنی[۳۱و۳۲] دارند.
لایه های نازک رسانا، نیمهرسانا و دیالکتریک، کاربردهای بسیاری در ساخت افزارههای فعال و غیر فعال بکار رفته در ابزارآلات الکترونیکی حالت جامد دارند. معمولاً از آنها بعنوان ترکیباتی با ثابت دیالکتریک پایین، سنسورها، پوششهای اپتیکی، مواد عایق و غیره استفاده می شود. بنابراین بررسی خواص انتقالی از جمله رسانندگی الکتریکی نها از اهمیت ویژهای آنها از اهمیت ویژه ای برخوردار است و برای مدت های طولانی بصورت عملی و نظری مورد مطالعه بوده است[۳۳].
در طی چند دهه اخیر مطالعات زیادی روی رسانندگی وابسته به فرکانس جامدات بی نظمی چون؛ نیمه رساناهای آمورف[۱۵]، شیشههای یونی[۱۶] ، پلیمرها[۱۷] ، کریستالهای غیر کامل[۱۸] و … انجام شده است[۳۴-۴۰]. به منظور بررسی مشاهدات تجربی مدل های متعددی ارائه گردیده است[۴۱-۴۳]. بیشترین مطالعات روی مدلی به نام مدل جهشی صورت گرفته است[۴۴و۴۵]. این مدل براساس پرش حاملهای بار در یک محیط تصادفی که معمولاً با یک شبکه نمایش داده می شود توصیف می شود. برای وارد کردن اثر بینظمی محیط در این مدل، معمولاً نرخ گذار، یعنی احتمال پریدن حاملهای بار از یک مکان به مکانهای دیگر، بصورت تابعی نمایی از انرژی فعال سازی یا فاصلهی تونل زنی در نظر گرفته می شود که تنها برای پرش به نزدیکترین همسایهها غیر صفر است. مدل جهشی تنها در یک بعد حل دقیق دارد و در ابعاد بالاتر از روشهای تقریبی برای حل آن استفاده می شود. این تقریبها یک تصویر کیفی از بسیاری از خواص رسانش متناوب فراهم می کند ولی مقادیر آنها برای تعیین دقیق رسانندگی وابسته به فرکانس دقیق نیست. در مدل جهشی معمولاً فرض بر این است که حاملهای بار با یکدیگر بر هم کنش ندارند. بنابراین اثر خود طردی که بنا بر آن در هر مکان شبکه تنها یک ذره می تواند وجود داشته باشد و همچنین اثر برهم کنش کلونی نادیده گرفته می شود. با وارد کردن این اثرات مدل بسیار پیچیده می شود[۴۶]. به منظور وارد کردن بر هم کنش های کولنی از یک مدل ماکروسکوپیک استفاده می شود. این مدل از نظر مفهومی از مدلهای جهشی سادهتر است و براساس اثر معروف ماکسول-واگنر یعنی اثری که در آن ناهمگنی محیط باعث وابستگی رسانندگی به فرکانس می شود شکل گرفته است[۴۷].
در این پروژه در ابتدا با بهره گرفتن از روش مونت کارلو به شبیه سازی فرایند رشد سطوحی میپردازیم که از نشست ذرات خطی با اندازهای متفاوت در (۱+۱) بعد ساخته میشوند. ذرات خطی با بهره گرفتن از مدل انباشت پرتابی(BD) برروی یک سطح تخت مینشینند. با مطالعه تحول زبری بر حسب زمان، رابطه مقیاس بندی فامیلی-ویچک[۱۹] برای این فرایند رشد بررسی می شود و با بدست آوردن نماهای مقیاسی، کلاس جهانی نشست ذرات با اندازه های متفاوت با بهره گرفتن از مدل BD مورد مطالعه قرار خواهد گرفت و با توجه به اهمیت تخلخل در چنین سطوحی، چگونگی فرایند رشد تخلخل با زمان و وابستگی آن به اندازه ذرات مطالعه خواهد شد. سپس با در نظر گرفتن اهمیت خواص رسانندگی چنین سطوحی و تأثیر ساختار و نحوه شکل گیری آنها روی این خواص، به مطالعه رسانندگی مؤثر وابسته به فرکانس و همچنین رسانندگی مستقیم سطوح رشد یافته، با حل عددی معادله رسانش در این سطوح، خواهیم پرداخت. تحول زمانی رسانندگی همزمان با فرایند رشد سطوح را مورد بررسی قرار میدهیم و به مطالعه وابستگی رسانش مؤثر به اندازه ذرات، میزان تخلخل سطوح و فرکانس میپردازیم.
ساختار این پایان نامه بصورت زیر میباشد:
در فصل اول ابتدا به چگونگی توصیف کمی پدیده رشد سطح و معرفی کمیتهایی چون زبری، نماهای مقیاسی و طول همبستگی پرداخته و به اختصار چند مدل بنیادی رشد سطح معرفی می شود. سپس به توضیح شبیه سازی انجام شده برای فرایند رشد سطوح توسط نشست ذرات خطی با مدل BD میپردازیم.
در فصل دوم به بررسی مسئله رسانش در جامدات بی نظم و بدست آوردن معادلات رسانش در
آنها پرداخته می شود، معادله بدست آمده گسسته می شود و با حل معادلات گسسته شده، مقادیرپتانسیل برای تمام نقاط سطح، جهت محاسبهی رسانندگی ماکروسکوپیک سطوح رشد یافته، بدست می آید.
و در نهایت در فصل سوم ابتدا نتایج مربوط به شبیه سازی فرایند رشد سطوح ارائه می شود. سپس رفتار رسانندگی مؤثر سطوح تولید شده مورد بررسی قرار میگیرد.
توصیف پدیده رشد سطح
در چند دهه اخیر مطالعات فراوانی برای بررسی دینامیک سطوح در حال رشد انجام گرفته است. این مطالعات منجر به شکل گیری یک چهارچوب کلی برای نظریه رشد سطح شده است. این چهارچوب مجموعه ای از نماهای مقیاسی را معرفی نموده و مکانیزم رشد سطح را به کمیتهای مختلفی مرتبط می کند که ریخت شناسی سطح را از نظر عددی شرح می دهند.
۱-۱ توصیف کمی پدیده رشد
سطح به صورت مجموعه ای از ذرات در یک تجمع[۲۰] که دارای بالاترین ارتفاع در هر ستون هستند تعریف می شود و در واقع مرز بین دو ناحیهی متفاوت است. معمولاً برای توصیف کمی پدیده رشد دو تابع زیر معرفی می شود :
ارتفاع میانگین سطح در زمان t ،که بصورت زیر میباشد:
(۱‑۱)
و در آن معرف ارتفاع ستون i ام در زمان t و L طول سیستم است. اگر نرخ نشست (تعداد ذرات رسیده به جایگاه) ثابت باشد، ارتفاع میانگین بطور خطی با زمان افزایش می یابد[۱].
(۱‑۲)
پهنای فصل مشترک، ، که مشخص کننده ناهمواری فصل مشترک است:
(۱‑۳)
این کمیت که از آن بعنوان زبری نیز یاد می شود مورفولوژی (Morphology) سطح را توصیف می کند. برای بررسی فرایند زبری، پهنای فصل مشترک به عنوان تابعی از زمان اندازه گیری می شود. اگر فصل مشترک در زمان ، یک خط صاف باشد، نمودار پهنای فصل مشترک بر حسب زمان معمولاً بصورت شکل۱-۱ خواهد بود.
شکل ۱‑۱: نمودار زبری بر حسب زمان در حالت کلی.
همان طورکه در شکل مشخص است این نمودار به دو ناحیهی قبل و بعد از زمان تقسیم می شود. در ناحیهی اول، یعنی پیش از زمان تغییرات پهنای فصل مشترک بر حسب زمان از قانون توانی:
(۱‑۴)
پیروی می کند. نمای رشد[۲۱] نامیده شده و دینامیک فرایند زبری را مشخص می کند. در ناحیه دوم، بعد از زمان ، پهنای فصل مشترک دیگر تابعی از زمان نبوده و به اشباع می رسد. مقدار زبری در حالت اشباع، ، بصورت زیر وابسته به بعد سطح (طول سیستم) است.
(۱‑۵)
که در آن نمای زبری[۲۲] نامیده می شود. همچنین زمان قطع که بعد از آن رشد زبری به اشباع میرسد، با رابطه توانی زیر با ابعاد سیستم متناسب است (شکل۱-۲). نمای دینامیکی[۲۳] نامیده می شود.
(۱‑۶)
شکل ۱‑۲: نمودار لگاریتمی تحول زمانی پهنای فصل مشترک برای مدل BD، به ازای زیر لایههای مختلف با مقادیر L=100(○), ۲۰۰(□), ۴۰۰(◊),۸۰۰(∆)
۱-۱-۱ روابط مقیاس بندی
در صورتی که نمودار پهنای فصل مشترک را بر حسب زمان برای سیستمهایی با ابعاد متفاوت رسم کنیم، مشاهده می شود که همگی آنها در ابتدا دارای شیب میباشند و در زمانهای متفاوت به اشباع میرسند. برای اولین بار فامیلی[۲۴] و ویچک[۲۵] [۴۸] حدس زدند که اگر طول را با عامل و زمان را با عامل مقیاس کنیم، در این صورت پهنای فصل مشترک بصورت زیر باز مقیاس می شود:
(۱‑۷)
که به رابطه مقیاس بندی زیر منجر می شود:
(۱‑۸)
که در آن بوده و تابع مقیاس بندی[۲۶] نامیده می شود. تابع مقیاس بندی با توجه به شکل ۱‑۳ بصورت زیر رفتار می کند.
(۱‑۹)
شکل ۱‑۳: نمایش شماتیکی از مراحل لازم برای باز مقیاس بندی نمودار های ناهمواری وابسته به زمان. نمودار آخر تابع مقیاس بندی نامیده می شود.
با توجه به روابط و در نزدیکی داریم:
