(‏۴‑۱۳)
۲۰
۱
S_k,n(m)
میزان مطلوبیت

شکل ‏۴‑۱۴: نمودار تابع مطلوبیت افت تراز آبخوان در محل چاه­ها
تابع مطلوبیت تأمین نیاز زیست­محیطی رودخانه (سازمان محیط زیست)
رودخانه­ها نیز همچون آبخوان­ها منابع ارزشمندی به حساب می­آیند و حفظ آنها برای سلامت اکوسیستم، مقاصد تفریحی، صید و پرورش ماهی یک امر ضروری به حساب می ­آید. از این­رو امروزه سازمان­های حفاظت از محیط زیست قوانینی را در خصوص برداشت درست از رودخانه­ها اعمال کرده، و در ایستگاه­های کنترل آب رودخانه­ها را از نظر کمی و کیفی کنترل می­ کنند. رابطه­ ۴-۱۴ تابع مطلوبیت نیاز زیست­محیطی رودخانه را تشریح می­ کند. در شکل ‏۴‑۱۵ نمودار مربوط به این تابع مطلوبیت نشان داده شده است.

(‏۴‑۱۴)

که میزان دبی اختصاص یافته به محیط زیست و میزان نیاز زیست­محیطی تعیین­شده می­باشد.
Dg_k,n
Q_in
۱
Qg_k,n
میزان مطلوبیت
شکل ‏۴‑۱۵: نمودار تابع مطلوبیت تأمین نیاز زیست­محیطی
تابع مطلوبیت هزینه برداشت آب مصرف­ کنندگان
بهره ­برداری از آب­های زیرزمینی هزینه­هایی را از قبیل هزینه ساخت چاه، هزینه پمپاژ و هزینه­ های تعمیر و نگه­داری و برداشت از رودخانه نیز هزینه­ های آبرسانی را در پی دارد ( رابطه­۴-۱۵). هر یک از مصرف­ کنندگان بالادست و پایین­دست دارای یک میزان بودجه مشخصی می­باشند، اگر فرض شود که مصرف­ کنندگان یک میزان بودجه ماکزیمم داشته باشند که در صورت ملزم شدن به پرداخت آن مطلوبیتشان به صفر برسد تابع مطلوبیت طبق رابطه­ ۴-۱۶ تعریف می­ شود. شکل ‏۴‑۱۶ نمودار تابع مطلوبیت مرتبط با هزینه­ برداشت آب را نمایش می­دهد.

(‏۴‑۱۵)

: ضریب هزینه­ پمپاژ می­­باشد که مقدار آن برابر با ۳۰۰ فرض شده است.
: ضریب هزینه­ انتقال آب می­­باشد که مقدار آن ۳۰۰۰ فرض شده است.
: مقدار افت کل آبخوان بر اثر پمپاژ چاه k ام در انتهای ماه n ام.
: مقدار هزینه­ کل پرداخته شده توسط مصرف ­کننده­ k ام در انتهای ماه n ام.

(‏۴‑۱۶)

maxcost
۱
Cost_k,n
میزان مطلوبیت
شکل ‏۴‑۱۶: نمودار تابع مطلوبیت مرتبط با هزینه­ برداشت آب مصرف­ کنندگان
فرمول­بندی مدل حل اختلاف Nash
در این بخش با بهره گرفتن از توابع مطلوبیت و محدودیت­هایی که در بخش قبل تعریف شد مدل حل اختلاف Nash در حل مسئله به کار گرفته شده است. با توجه به اینکه اهمیت ذینفعان در تأمین نیازهایشان یکسان نمی ­باشد از تابع غیرمتقارن نش استفاده شده است. معادله تابع هدف غیرمتقارن Nash به صورت ارائه شده در معادله­ ۴-۱۷ می­باشند.