(۳-۱۰-۳)
۳-۱۰-۳ آنتروپی
در گرانش اینشتین آنتروپی سیاه­چاله­ها معمولا قانونی موسوم به قانون مساحت^[۳۴] را برآورده می­ کنند. بر طبق این قانون آنتروپی سیاه­چاله برابر است با یک چهارم مساحت افق [۵۴]
(۳-۱۰-۴)
در حضور گرانش مرتبه­های^[۳۵] بالاتر دیگر قانون مساحت، یعنی رابطه­ (۳-۱۰-۴) برقرار نیست و باید از سایر قوانین جهت محاسبه­ی آنتروپی استفاده کرد. والد نشان داد که آنتروپی سیاه­چاله همیشه می ­تواند به­عنوان یک کمیت هندسی موضعی انتگرال‌گیری شده بر سراسر ناحیه­ی فضایی سطح مقطع افق رویداد بیان شود [۵۵ و۵۶]. آنتروپی والد به­شکل زیر معرفی می­ شود:
(۳-۱۰-۵)
که در آن  لاگرانژی لاولاک،  ابرسطح افق،  دترمینان متریک در ابرسطح  و  بردار یکه­ای که از دو طرف یک سطح برآن عمود می­باشد. با قراردادن لاگرانژی لاولاک در رابطه­ (۳-۱۰-۵)، شکل تعمیم یافته آنتروپی در ابعاد بالاتر به­دست می ­آید:
(۳-۱۰-۶)
که این انتگرال بر روی ابرسطح فضاگونه  بعدی گرفته می­ شود.  متریک القایی و  دترمینان این متریک می­باشد. در این رابطه  معرف مراتب مختلف لاولاک می­باشد. به ازای  های مختلف داریم:
(۳-۱۰-۷)
که در آن  و  به ترتیب تانسورهای ریمان و ریچی و  اسکالر ریچی برای متریک القایی  بعدی هستند. برای مرتبه­ی اول لاولاک معادله (۳-۱۰-۷) به معادله­ (۳-۱۰-۴) تبدیل می­ شود. همچنین برای مرتبه دوم لاولاک (  )، یعنی آنتروپی والد در لاگرانژی گوس-بونه به­ صورت زیر ساده می­ شود:

(۳-۱۰-۸)
به­راحتی می­توان دریافت برای فضازمان­هایی که ابرسطح فضاگونه­ی  بعدی آن دارای اسکالر ریچی صفر باشد  ، قانون مساحت برقرار خواهد بود.
۳-۱۰-۴ بار الکتریکی
برای محاسبه­ی بار الکتریکی بر واحد حجم (منظور از حجم همان ابر سطح  و  ثابت است)، ابتدا تانسور میدان الکترومغناطیس را بر روی یک ابرسطح  به­دست می­آوریم. سپس سطح فضاگونه  در مرز  و با متریک  در نظر گرفته و متریک مرز را به شکل ^[۳۶]ADMبه­صورت زیر می­نویسیم:
(۳-۱۰-۹)
در رابطه­ فوق،  متغیرهای زاویه­ای هستند که ابرسطوح  ثابت حول مبدا را پارامتریزه می­ کنند. همچنین بردارهای عمود بر این ابرسطح به­ صورت زیر تعریف می­کنیم:
(۳-۱۰-۱۰)
که در این روابط  و  به­ترتیب توابع گذار^[۳۷] و جا به ­جایی^[۳۸] می­باشند. با توجه به روابط فوق، میدان الکتریکی برابر است با:
(۳-۱۰-۱۱)
بنابراین بار الکتریکی کل بر واحد حجم را می­توان با محاسبه­ی شار میدان الکتریکی در بی­نهایت فضایی محاسبه نمود.
۳-۱۰-۵ پتانسیل الکتریکی
پتانسیل الکتریکی  که توسط ناظر بی­نهایت نسبت به مرجع (افق رویداد) اندازه ­گیری می­ شود، با بهره گرفتن از رابطه­ زیر محاسبه می­گردد:
(۳-۱۰-۱۲)
در این رابطه،  پتانسیل برداری و  مولد نول^[۳۹] افق رویداد می­باشند که این مولدهای نول یک ترکیب خطی از بردارهای کیلینگ هستند.
۳-۱۰-۶ سرعت زاویه­ای
برای محاسبه­ی سرعت زاویه­ای سیاه­چاله روش­های متفاوتی وجود دارد. یکی از این روش­ها، استفاده از استمرار تحلیلی^[۴۰] می­باشد. برای استفاده از این روش ابتدا باید پارامترهای چرخش را  و مختصه­های متناظر را  بنامیم، با قرار دادن  و  متریک را اقلیدسی کرده و همچنین برای خوش­رفتاری فضازمان در افق رویداد،  ها باید متناوب و خوش­رفتار باشند. یعنی:
(۳-۱۰-۱۳)
که در آن  و  ها به­ترتیب عکس دمای هاوکینگ و سرعت­های زاویه­ای افق رویداد هستند.
۳-۱۱ روش کانترترم در گرانش
در محاسبه­ی برخی از کمیت­های پایا نظیر جرم، هنگامی که مرز را به سمت بی­نهایت میل می­دهیم درخواهیم یافت که مقادیر محاسبه شده نامحدود می­شوند. برای به­دست آوردن مقادیر فیزیکی محدود بایستی جمله­هایی به کنش اولیه اضافه کنیم.
اولین بار براون و یورک برای به­دست آوردن کنش محدود و در نتیجه تانسور تنش محدود، مساله­ی محدودسازی به روش کم کردن زمینه را مطرح کردند. در این روش مرز مورد نظر را در یک فضای زمینه غوطه­ور می­ کنند [۵۷]. با وجود این­که این روش در حالت­هایی جواب گو بود اما از چند نظر دچار اشکال بود. اول این­که کمیت­های محاسبه شده نسبت به فضای زمینه سنجیده می­شوند. یعنی ما از فضای زمینه به­عنوان فضای کمکی استفاده کرده­ایم و برای مرزهای مختلف فضاهای زمینه­ مختلف باید به­کار روند [۵۸]. دوم این­که همیشه ممکن نیست که مرز دلخواهی با هندسه­ی ذاتی دلخواه را در یک فضایی زمینه غوطه­ور کرد [۵۹].
در سال­های اخیر برای حذف این واگرایی­ها روش­های جدیدی ارائه شده است [۶۰، ۶۱ و ۶۲]. بیان یکی از این روش­ها این­گونه است که برای یک فضا با مرز، تنها راه محدود کردن مقدار کنش بدون این­که در تقارن و معادلات میدان تغییری ایجاد شود، این است که کنشی که تابعی از ناورداهای فضازمان است را به کنش اصلی اضافه نماییم. این کنش که به کانترترم موسوم است، با از بین بردن واگرایی­های موجود در کنش، آن­را محدود می­سازد.
از آنجایی که هنوز کانترترم کلی در گرانش گوس- بونه برای هر مرز منحنی نوشته نشده است، فقط به بررسی جمله­ کانترترم برای مرز تخت می­پردازیم. کنش کانترترم به صورت:
(۳-۱۱-۱)
ارائه می­ شود. در این کنش،  فاکتور مقیاس طول بوده و تابعیت آن به  و  به شکلی است که در حالت حدی  به  کاهش می­یابد.
در نهایت با توجه به مطالب فوق و قسمت مربط به کنش مرزی، (۲-۶)، می­توان کنش کلی محدود برای گرانش گوس- بونه را به این صورت معرفی نمود:
(۳-۱۱-۲)
با توجه به کنش، (۳-۱۱-۲)، و با کمک گرفتن از تعریف براون و یورک [۵۷] می­توان تانسور محدود انرژی- تکانه برای مرز تخت را این­گونه به­دست آورد [۶۳].
(۳-۱۱-۳)
برای محاسبه­ی کمیت­های پایا، سطح فضاگونه­ای مطابق متریک (۳-۱۰-۹) در نظر می­گیریم. اگر روی مرز میدان برداری کیلینگ به شکل  داشته باشیم، کمیت­های پایای متناظر با تانسور انرژی- تکانه، (۳-۱۱-۳)، را می­توان به فرم زیر نوشت]۶۰و۶۱[:
(۳-۱۱-۴)
که در آن  دترمینان متریک  و  بردار واحد عمود بر  می­باشد.
به­عنوان مثال وجود بردارهای کیلینگ زمان­گونه  و دورانی  به­ترتیب متناظر با کمیت­های پایای جرم و تکانه­ی زاویه­ای به شکل زیر می­باشد:
(۳-۱۱-۵)
(۳-۱۱-۶)
فصل چهارم
جواب­های لایه­ی سیاه گرانش گوس- بونه
در حضور دو کلاس جدید از الکترودینامیک
غیرخطی