با توجه (۲۴)، (۲۵)، (۲۶)و جایگذاری در :
به طور مشابه ، اگر یک نقطه ی مینیمم سراسری تابع باشد، آن گاه داریم:
اگر معادلات (۲۷) و (۲۸) برای همه ی تابع های برقرار باشند و با توجه به این که در اصل ماکزیمم صدق می کند، به دست می آوریم:

همان طور که در (۲۷) و (۲۸) مشاهده شد، از مشتقات استفاده کردیم در صورتی که از مشتقات استفاده نشد و فقط پیوستگی آن لازم بود. این عقیده به مفهوم جواب های ویسکوزیته منجر شد و توسط کراندال^[۷۰] و لیونز^[۷۱] معرفی گردید[۲۸]. در ادامه به یک سری تعاریف مقدماتی برای تعریف مناسب جواب ویسکوزیته نیاز داریم ، که به آن خواهیم پرداخت. ۳-۴-۲ تعریف(تابع نیمه پیوسته ی بالا^[۷۲]): یک تابع به طور موضعی کراندار را نیمه پیوسته ی بالا گویند، اگر [۲۴].
۳-۴-۳ تعریف(تابع نیمه پیوسته ی پایین^[۷۳]): یک تابع به طور موضعی کراندار را نیمه پیوسته ی پایین گویند، اگر [۲۴].
۳-۴-۴ گزاره : اگر تابع هم نیمه پیوسته ی بالا و هم نیمه پیوسته ی پایین باشد، آن گاه پیوسته است.[۲۴]
۳-۴-۵ تعریف: کلاس توابع نیمه پیوسته ی بالا(متناظراً نیمه پیوسته ی پایین ) را با (متناظراً ) نمایش می دهند.[۲۴]
۳-۴-۶ تعریف: را مجموعه ای از توابع اندازه پذیر روی ، با چند جمله ای رشد از درجه در + ، و کراندار روی، می نامند. یا به عبارت دیگر
[۲۴].
می توان را برای به صورت
تعریف کرد، وقتی که . اولین عبارت انتگرالی در معادله ی (۳۰)، برای خوش تعریف است، زیرا برای ،
و اگر برای ،
باشد، آن گاه دومین عبارت انتگرالی در (۳۰) نیز خوش تعریف است و همچنین اپراتور برای هر خوش تعریف است. در واقع برای تعریف جواب ویسکوزیته نیاز به خوش تعریف بودن است که در بالا به آن اشاره شد و این معادل است با همواری (خوش تعریف بودن آن شرایط کافی را روی ارائه می دهد: ). شرط (۳۱)معادل است، با وجود گشتاور مرتبه -ام فرایند لوی که در این جا را برابر با ۲ در نظر می گیریم.
۳-۴-۷ تعریف (مسأله ی ارزش گذاری کراندار به صورت ): مسأله ی ارزش گذاری با شرایط اولیه و کرانداری را روی به صورت زیر تعریف می کنند:
که یک بازه ی باز ( کران های بازه ی می باشند ) و یک تابع پیوسته و می باشند[۲۴].
۳-۴-۸ تعریف(زیر جواب ویسکوزیته^[۷۴]): تابع را یک زیر جواب ویسکوزیته ، از مسأله ی ارزش گذاری در تعریف ۳-۴-۷ گویند ، اگر برای هر و هر نقطه ی ماکزیمم سراسری از تابع ، در شرایط زیر صدق کند: اگر
[۲۴].
۳-۴-۹ تعریف(زبر جواب ویسکوزیته^[۷۵]): تابع را یک زبر جواب ویسکوزیته ، از مسأله ی ارزش گذاری در تعریف ۳-۴-۷ گویند ، اگر برای هر و هر نقطه ی مینیمم سراسری از تابع ، در شرایط زیر صدق کند: اگر
[۲۴].
۳-۴-۱۰ تعریف (جواب ویسکوزیته): تابع را یک جواب ویسکوزیته گویند، اگر هم یک زیر جواب ویسکوزیته و هم یک زبر جواب ویسکوزیته باشد.[۲۴]
۳-۴-۱۱ گزاره: اگر یک جواب ویسکوزیته باشد ، آن گاه روی پیوسته است.[۲۴]
می توان وجود و یکتایی جواب های ویسکوزیته را در [۱۲]، برای مسأله ی ارزش گذاری، جستجو کرد. در واقع یکی از ابزارهای اصلی برای نشان دادن یکتایی این گونه جواب ها اصل مقایسه ای^[۷۶] است یا به طور معادل اگر و جواب های ویسکوزیته باشند و ، آن گاه برای همه ی ،
۳-۴-۱۲ قضیه (اصل مقایسه ای برای جواب های نیمه پیوسته): گیریم یک زیر حل و یک زبر حل از مسأله ی ارزش گذاری تعریف ۷-۴-۳ باشند و همچنین یک تابع پیوسته باشد، آن گاه
[۲۴]. در ادبیات مالی ، اصول مقایسه به راحتی به نامساوی آربیتراز برگردانده می شوند : اگر جبرانی نهایی یک اختیار معامله ی اروپایی ، جبرانی نهایی اختیار معامله ی اروپای دیگری را در تسلط خود داشته باشد، در این صورت ارزش آن ها باید در همان نامساوی (نامساوی آربیتراژ) صدق کند.[۲۴]
در ادامه به ذکر یک قضیه خواهیم پرداخت که ارزش های اختیار معامله های اروپایی و توأم با مانع را می توان به صورت جواب های ویسکوزیته از مسأله ی ارزش گذاری تعریف ۳-۴-۷، بیان کرد .
۳-۴-۱۳ قضیه(ارزش گذاری اختیار معاملات به عنوان جواب های ویسکوزیته): گیریم تابع جبرانیه ی در شرط لیپشیتز صدق کند:
و همچنین اگر ، که در شرط صدق می کند، الف) ارزش روبه جلو^[۷۷] یک اختیار معامله ی اروپایی تعریف شده در (۱۵) ، یک جواب ویسکوزیتهی منحصربه فرد از مسأله ی کوشی
است. ب) اگر ارزش رو به جلو از یک اختیار معامله ی توأم بامانع (منفرد یا مضاعف) تعریف شده در (۲۳)، پیوسته باشد، آن گاه یک جواب ویسکوزیته ی منحصر به فرد از مسأله ی ارزش گذاری تعریف ۳-۴-۷ می باشد .
اثبات:[۲۷].
فصل چهارم
حل معادلات با بهره گرفتن از روش های تفاضل متناهی
همان طور که در بخش قبل گفته شد ، خاصیت مارکوف این اجازه را به ما می‌دهد، که ارزش اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع را به صورت جواب های معادلات بیان کنیم. اخیراً مطالعات زیادی برای حل معادلات (برای مسأله‌های مشتقات مالی) صورت گرفته است که از جمله‌ی آن می‌توان به روش های عددی اشاره کرد، که در [۷و۳۱و۴۲و۵۲] به آن پرداخته شده است. در واقع در بسیاری از موارد، به صورت تحلیلی نمی‌توان مسأله‌ی را حل نمود. بنابراین مجبور هستیم به سراغ روش های عددی برویم. روش های عددی دارای گونه‌های مختلف می‌باشند. یکی از این روش ها، روش های تفاضل متناهی است که در [۷و۳۱و۵۱] پیشنهاد شده است. اما در این مقالات به تحلیل همگرایی، سازگاری و پایداری روش ارائه شده ، پرداخته نشده است. در این بخش به ارائه‌ یک روش تفاضل متناهی خواهیم پرداخت و همچنین همگرایی، سازگاری و پایداری این روش را نیز بررسی خواهیم کرد و در پایان یک نرخ همگرایی برای روش ارائه شده به دست خواهیم آورد.
۴-۱ روش های تفاضل متناهی برای معادلات : روش های تفاضل متناهی، روش های تقریبی برای معادلات دیفرانسیل جزئی هستند که اساس آنها با جایگزینی مشتقات جزئی با تفاضلات متناهی در معادله‌ی ارزش گذاری است. در معادلات یک عبارت انتگرالی نیز وجود دارد که می‌توان آن را با مجموع‌های ریمان تخمین زد. مسأله‌ی ارزش گذاری ، تعریف شده در ۳-۴-۷ را در نظر می‌گیریم:
که در آن
و به طوری که یا . در ساختار یک روش تفاضل متناهی برای معادلات سه مرحله ی اصلی وجود دارد:
۱٫موضعی سازی^[۷۸] اگر معادله ی روی یک دامنه ی بی کران باشد آن را با یک برش، به یک دامنه ی کراندار تبدیل می کنیم. در مساًله ی ارزش گذاری اختیار معاملات اروپایی که بایستی را با یک بازه ی کراندار برش دهیم اما در مساله ارزش گذاری اختیار معاملات توام بامانع شرایط کرانداری به طور طبیعی وجود دارد(یعنی خارج از بازه ی مورد نظر تابع جبرانیه صفر است) همچنین در عبارت انتگرالی معادله ی باید بازه ی انتگرال را برش داد(موضعی سازی کرد). که هر دوی این برش ها یا موضعی سازی منجر به یک خطا می شوند که با انتخاب مناسب برش می توان عبارت های در را تخمین و کنترل کرد.
۲٫تقریب پرش های کوچک^[۷۹] هنگامی که اندازه ی لوی (فرایند لوی) در صفر واگرا باشد یا به عبارت دیگر، فرایند لوی با فعالیت متناهی باشد می توان پرش های کوچک فرایند لوی را به وسیله ی یک حرکت براونی تقریب زد(بخش۲-۳).
۳٫گسسته سازی^[۸۰] برای حل معادلات ، بازه های پیوسته ی به حالت گسسته تبدیل می شوند در واقع یک شبکه ساخته می شود بدین صورت که: الف) گسسته سازی فضا: دامنه ی مکانی مسأله ی را با یک شبکه ی گسسته و اپراتور را با یک ماتریس جایگزین می کنند در واقع بردار
متناظر با نقاط شبکه است (معادل با جواب های مسأله ی) بنابراین
ب)گسسته سازی زمان: مشتق نسبت به زمان را با یک تفاضل متناهی جایگزین می کنند(برای این کار چندین انتخاب وجود دارد.).
حال هریک از موارد بالا را به طور مفصل تر بررسی خواهیم کرد.
۴-۱-۱ موضعی سازی به یک دامنه ی کراندار محاسبات عددی فقط روی دامنه های متناهی عمل می کنند، بنابراین در اولین گام برای حل مسأله ی ارزش گذاری ، دامنه ی آن را به یک دامنه ی کراندار کاهش می دهیم (در واقع دامنه را برش می دهیم.) در مسأله ی (۳۲) بازه ی را به یک بازه ی کراندار، ، برش می دهیم. همچنین فرض می کنیم جواب مسأله ی موضعی سازی شده باشد، پس مسأله ی در (۳۲) به صورت زیر تعریف می شود:
که در آن و یا هستند. موضعی سازی دامنه یا برش آن منجر به یک خطا می شود که در قضیه ی زیر آن را به دست خواهیم آورد. قبل از بیان قضیه نیاز به مقدماتی است که در ادامه به آن پرداخته می شود.
۴-۱-۲ تعریف: تابع روی زیرضربی است ، اگر و تنها اگر، نامنفی باشد و به طوری که
[۴۷].
۴-۱-۳ قضیه: اگر یک فرایند لوی روی باشد و
همچنین یک تابع پیوسته ی زیرضربی نامنفی روی باشد. اگر هنگامی که ، ، آن گاه چهار حالت زیر معادل اند: الف) برای حداقل یک ، . ب) برای هر ، . پ) برای حداقل یک ، . ت) برای هر ، . اثبات: (قضیه ی ۲۵٫۱۸ [۴۷]). ۴-۱-۴ قضیه(نامساوی چبیشف): اگر متغیری تصادفی و تابعی نامنفی با قلمرو اعداد حقیقی باشد ، آن گاه
۴-۱-۵ قضیه: اگر (تابع جبرانیه) کراندار باشد و