پس مؤلفه های متریک می‌شود
(۱-۵۵)
که بنا بر تعریف متقارن است. در مختصات موضعی ،یا پایه‌های هولونرم،می‌توان نوشت
(۱-۵۶)
چون متریک ناتکین و متقارن است وارون ماتریس مؤلفه های آن، ،وجود دارد:
(۱-۵۷)
به کمک این ماتریس وارون می‌توان تانسوری از نوع (۰ و۲) ساخت:
(۱-۵۸)
به کمک تانسورهای و می‌توان هر تانسور T از نوع (s،r) را با حفظ مرتبه تغییر داد:
(۱-۵۹)
همین روابط بر حسب مؤلفه‌ها می‌شود:
(۱-۶۰)
هرگاه را در یک نقطه قطری کنیم، آنگاه کمیت
را نشانگان متریک می‌نامند.
اگر:
(۱-۶۱)
در این صورت شاخص‌ها با عمل مشتق گیری هموردا جا به جا پذیرند:
(۱-۶۲)
این ویژگی در محاسبه‌های تانسوری مؤثر است:
(۱-۶۳)
و یا:
(۱-۶۴)
این رابطه با انتخاب مختصات موضعی می‌شود:
(۱-۶۵)
اکنون پیچش را صفر فرض می‌کنیم. پس در شاخص‌های پایین متقارن است.
در نتیجه:
(۱-۶۶)
که همان نمادهای کریستوفل می‌باشند.
فاصله دو نقطه روی خمینه، و ، را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(۱-۶۷)
برای فاصله دو نقطه ۱ و ۲ :

اکنون با بهره گرفتن از متریک می‌توان برای مفاهیمی که تاکنون تعریف کرده‌ایم تفسیر جدیدی بیابیم. چند نمونه را در زیر می‌آوریم. به کمک متریک حاصل ضرب داخلی دو بردار X وY را به صورت که در هر نقطه یک عدد است تعریف می‌کنیم. پس می‌نویسیم
(۱-۶۸)
بنابراین،می‌توان چنین تعبیر کرد که متریک به هر بردار u یک هم بردار نسبت می‌دهد:
(۱-۶۹)
چون یک نگاشت خطی روی T_p است،پس یک هم بردار است. تأثیر این نگاشت در مؤلفه‌ها به صورت پایین آوردن شاخص است. عمل معکوس،یعنی نسبت دادن یک بردار به هم- بردار با معکوس متریک انجام می‌شود. این گونه است که بردارها و هم- بردارها به هم وابسته می‌شوند و ما در فیزیک معمولاً تفاوت آن‌ها را فراموش می‌کنیم.
در اثرانتقال موازی در امتداد خمی در Mحاصل ضرب داخلی دو بردار Xو Yتغییر نمی‌کند.
(۱-۷۰)
انتقال موازی به معنی ۰=DX است.
پایه‌ی متعامد معمولاً به مختصات بستگی دارند. اما همواره می‌توان پایه‌های ناهولونرم را طوری تعریف کرد که
(۱-۷۱)
متریک اجازه می‌دهد خم ژئودزیک نوع دیگری تعریف کنیم. خمی را ژئودزیک بگوییم که فاصله‌ی میان هر دو نقطه‌ی آن کمینه (فرینه)باشد. اگر این فاصله را S بنامیم، داریم:
(۱-۷۲)
و سپس مسئله‌ی فرینال را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(۱-۷۳)
خمی که را صفر می‌کند، ژئودزیک نامیده می‌شود. انتگرال ده را از زیر رادیکال در می‌آوریم و می‌نویسیم:
(۱-۷۴)