(۳-۲۵)
شکل زیر نمودار توان برحسب سرعت توربین بادی می‌باشد که تحت سرعت‌های مختلف رسم شده است را نشان می‌دهد. با جمع کردن نقاط بهینه هریک از این نمودارها منحنی توان بهینه (P_opt) بدست می‌آید.
شکل (۳-۴) نمودار توان- سرعت توربین بادی
با توجه به اینکه در توربین‌های بادی سرعت متغیر، امکان کارکرد در سرعت‌های مختلف روتور توربین بادی وجود دارد، DFIGمی‌تواند ماکزیمم توان را در سرعت‌های مختلف باد در خروجی تحویل دهد. منحنی که در شکل نشان داده شده است با یک تابع درجه ۳ به صورت کاملاً دقیق تخمین زده شده می‌شود. بنابراین رابطه ماکزیمم توان مکانیکی بر حسب سرعت روتور را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

(۳-۲۶)
(۳-۲۷)
با بدست آوردن توان توربین بادی گشتاور توربین T_t به صورت زیر محاسبه می‌گردد:
(۳-۲۸)
_tΩ سرعت زاویه ای توربین بادی (سرعت شفت) است، که بر حسب (rad/sec) بیان می‌گردد.همچنین از رابطه (۳-۲۶) می‌توان نتیجه گرفت که رابطه بین گشتاور الکترومکانیکی و سرعت روتور می‌تواند به صورت زیر باشد:
(۳-۲۹)
توربین در حالت نرمال به وسیله یک گیربکس با نسبت تبدیل G با شفت ژنراتور کوپل می‌گردد. هدف از قرار دادن گیربکس بین توربین و ژنراتور قرار دادن سرعت توربین در یک رنج مطلوب می‌باشد.
با چشم‌پوشی از تلفات انتقال، گشتاور تبدیل یافته توربین (گشتاور ژنراتوری) T_g و تبدیل یافته سرعت توربین به صورت زیر محاسبه می‌گردند:
(۳-۳۰)
(۳-۳۱)
G نسبت تبدیل گیربکس و Ω سرعت مکانیکی است که بر حسب (rad/sec) بیان می‌گردد.
ضریب توان وابسته به زاویه گام توربین β و سرعت نسبی باد λمی‌باشد، در این صورت داریم:
(۳-۳۲)
(۳۳-۳)
عبارات C₁ تا C₆ ثابت های ضریب توان بوده که مقادیر آنها در ضمیمه آورده شده است.
سرعت نسبی باد λ وابسته به سه عامل سرعت زاویه‌ای توربین بادی، شعاع پره R بر حسب متر (m) و سرعت باد V بر حسب (m/s) می‌باشد که به صورت زیر بیان می‌گردد.
(۳-۳۴)
معادله حاکم بر گشتاور به صورت زیر بیان می‌گردد.
(۳-۳۵)
J اینرسی برحسب (kg.m²)، f ضریب دمپینگ و T_emگشتاور الکترومکانیکی بر حسب (N.m) می‌باشد.رابطه تبدیل سرعت مکانیکی به سرعت الکتریکی برحسب رادیان بر ثانیه به صورت زیر می‌باشد.
(۳-۳۶)
۳-۲-۱-۱- مدل دینامیکی توربین بادی
شکل زیر شماتیک دیاگرام توربین بادی را نشان می‌دهد. از تفریق گشتاور توربین با گشتاور الکترومکانیکی مرجع و قرار دادن در معادلات گشتاور سرعت مکانیکی توربین بدست می‌آید[۱۴].
شکل (۳-۵)شماتیک دیاگرام توربین بادی
۳-۲-۲- شارش توان در DFIG
DFIGمی‌تواند دو حالت عملکردی به نام‌های زیر سنکرون و فوق سنکرون داشته باشد که بستگی به سرعت روتور زیر یا بالای سرعت سنکرون دارد. شارش توان در روتور یک ماشین القایی دو سو تغذیه دارای سه جزء می‌باشد: ۱- توان الکترومغناطیسی تبادلی بین استاتور و روتور میان فاصله هوایی (P_s) 2- توان مکانیکی تبادلی بین روتور توربین و شفت ژنراتور (P_m) 3- توان لغزش تبادلی بین روتور و هر منبع خارجی یا بار میان حلقه های لغزان روتور (P_r). ارتباط این توان‌ها در دو حالت عملکردی زیرسنکرون و فوق سنکرون در شکل (۳-۶ الف,ب) نشان داده شده است[۱۷],[۱۸].
(الف)
(ب)
شکل (۳-۶): شارش توان در DFIG سیستم تبدیل انرژی بادی.
الف-عملکرد در حالت فوق سنکرون.
ب-عملکرد در حالت زیر سنکرون.
توان مکانیکی و توان الکتریکی خروجی استاتور به شکل زیر محاسبه می‌شود:
(۳-۳۷)
(۳-۳۸)
در روابط فوق ω_s ,ω_r ,T_m ,T_em ,P_s ,P_mبه ترتیب توان مکانیکی، توان الکتریکی، گشتاور الکترومغناطیسی، گشتاور مکانیکی، سرعت روتور و سرعت سنکرون می‌باشد. در حالت پایدار و سرعت ثابت روابط زیر حاکم هستند:
(۳-۳۹)
(۳-۴۰)
درنتیجه توان روتور یعنی P_rاز رابطه زیر بدست می‌آید. در این روابط S مقدار لغزش ژنراتور می‌باشد.
(۳-۴۱)
(۳-۴۲)
در حالت کلی مقدار لغزش عددی کمتر از یک است، در نتیجه توان P_r کسری از P_s است. از آنجائیکه T_m برای تولید توان مقداری مثبت و ω_sنیز مقداری مثبت و ثابت در فرکانس ثابت شبکه می‌باشد در نتیجه P_r تابعی از لغزش است، یعنی P_r برای لغزش منفی یا در سرعت بالاتر از سرعت سنکرون دارای مقداری مثبت یا در سرعتی کمتر از سرعت سنکرون دارای مقداری منفی می‌باشد. در عملکرد سرعت فوق سنکرون P_r به باس لینک DC انتقال و در نتیجه ولتاژ لینک DC افزایش می‌یابد و در عملکرد سرعت زیر سنکرون P_r از خازن باس DC گرفته می‌شود و در نتیجه ولتاژ لینک DC کاهش می‌یابد. مبدل سمت شبکه برای تولید یا جذب توان اکتیو به منظور ثابت نگه داشتن ولتاژ لینک DC استفاده می‌شود. در حالت کار عادی توان اکتیو مبدل سمت شبکه برابر با P_r و سرعت توربین بادی توسط توان P_r جذب شده و یا تولید شده توسط مبدل سمت روتور تعیین می‌شود. توالی فاز ولتاژ AC تولید شده توسط مبدل سمت روتور برای سرعت فوق سنکرون منفی و برای سرعت زیر سنکرون مثبت است. فرکانس این ولتاژ برابر حاصلضرب فرکانس شبکه و مقدار لغزش می‌باشد. مبدل‌های سمت روتور و سمت شبکه توانایی جذب و یا تولید توان راکتیو را دارند. بنابراین می‌توانند توان راکتیو و یا ولتاژ را در ترمینال شبکه کنترل کنند.
۳-۲-۳- کانورتر سمت شبکه
کانورتر سه فاز در حقیقت یک پل ترانزیستوری سه فاز معمولی است که به شبکه با در نظر گرفتن خاصیت سلفی و مقاومتی شبکه متصل شده است. هدف از کانورتر سمت شبکه ثابت نگه داشتن ولتاژ لینک DC با در نظر گرفتن اندازه و جهت توان روتور می‌باشد[۱۹].
شکل (۳-۷) مدل کانورتر سه فاز متصل به شبکه
شکل (۳-۸) مدار معادل سوئیچ در حالت سوئیچینگ با سرعت بالا
۳-۲-۳-۱- مدل‌سازی ریاضی
سیستم شکل بالا را می‌توان به وسیله روابط ریاضی زیر مدل نمود که R بیانگرمقاومت خط برحسب اهم (Ω)، L اندوکتانس خط برحسب میلی هانری (mH)، Cظرفیت خازن لینک DC برحسب میکروفاراد (Fµ)، i_a,i_b,i_c به ترتیب جریان فازهای a,b,c شبکه برحسب آمپر(A)، e_a,e_b,e_cبه ترتیب ولتاژ فازهای a,b,c شبکه برحسب ولت (V)، u_a,u_b,u_c به ترتیب ولتاژ سوئیچینگ فازهای a,b,c کانورتر، s_a,s_b,s_c به ترتیب نشان دهنده حالت ۰ یا ۱ بودن سوئیچ‌ها در فازهای a,b,cمی‌باشند[۱۹].
(۳-۴۳)
(۴۴-۳)
(۳-۴۵)
(۳-۴۶)
عبارت s=1 نمایانگر خروجی متصل به ترمینال مثبت خازن لینک DCمی‌باشد. با فرض سوئیچ زنی سریع موقعیت سوئیچ می‌تواند جایگزین دوره کار d گردد.