برای کمینه شدن رابطه فوق که مدنظر ماست ضرایب پراکندگی و باید کمینه شوند و به صفر میل کنند. محاسبات بیانگر این است که این دو پارامتر فوق به نسبت شعاع پوشش فرماده به شعاع ذره () () وابسته است، و همواره شعاع کره از شعاع پوشش کوچکتر است. در نهایت برای اینکه سطح مقطع پراکندگی کل به صفر برسد، یک مقدار بهینه برای رابطه نسبت دو شعاع بدست می آید، که تابع ضریب دی الکتریک ذره، پوشش و محیط اطراف ذره است.

(۲-۸۴) 
و است. برای اینکه معنای فیزیکی داشته باشد، باید باشد. اگر کره دی‎الکتریک باشد، جمله در فرمول سطح مقطع پراکندگی غالب است. اگر را در نظر بگیریم، رابطه زیر برای نسبت شعاع ها وجود دارد.
(۲-۸۵)
اگر کره PEC داشته باشیم، میل می‎کند و عبارت بالا به صورت زیرتبدیل می‎شود.
(۲-۸۶)
برای استفاده از فرمول بالا باید باشد.
۲-۶-۳ نمودارهای تجربی مربوط به کاهش پراکندگی از سطح کره با پوشش فراماده
شکل (۲-۹) کاهش سطح مقطع پراکندگی برای کره ]۴۸[.
شکل (۲-۹)( a سمت چپ)، مینیمم سطح مقطع پراکندگی، نسبت به را نشان می‎دهد. شکل (۲-۹)(b سمت چپ) نشان می‎دهد که بیشترین سهم را در مینیمم کردن پراکندگی دارد. زیرا کمتر از سایر جمله ها، تحت تاثیر کم فراماده قرار گرفته است. شکل (۲-۹) (a سمت راست) نشان می‎دهد که با انتخاب مناسب، برای کره مشابه با شکل (سمت چپ)، می‎توان سطح مقطع پراکندگی را کمتر نیز کرد. شکل (۲-۹)( bسمت راست) نشان می‎دهد که با انتخاب مناسب، سهم مرتبه های بالاتر ، در کاهش سطح مقطع پراکندگی بیشتر می‎شود.
شکل (۲-۱۰) کاهش پراکندگی میدان الکتریکی در صفحه xz ]۴۸[.
شکل (۲-۱۰) پراکندگی میدان الکتریکی را در صفحه xz ، برای حالت های مختلف کره‎ی موجود در شکل قبل(۲-۹) ، و مراحل نامریی سازی را نشان می‎دهد. شکل (a) پراکندگی میدان الکتریکی برای کره با و و، را نشان می‎دهد. در شکل (b) پراکندگی میدان الکتریکی برای کره (a) باپوششی با مشخصات ورا نشان می‎دهد. شکل © کره (a) با پوشش ورا نشان می‎دهد. همانگونه که در شکل پیداست، با انتخاب کم، پراکندگی میدان الکتریکی کاهش پیدا کرده است. شکل (d) کره شکل © ولی ، را نشان می‎دهد. انتخاب این باهش کاهش پراکندگی بیشتر از حالت © شده است.
۲-۷ سیستم چند ذره ای و کاهش شدید سطح مقطع پراکندگی
همانگونه که توضیح داده شد، می‎توان با قرار دادن لایه ای از مواد پلاسمونی طبیعی یا مصنوعی در ناحیه فرکانس پلاسما بر روی نانو ذرات کروی رسانا یا دی الکتریک، باعث کاهش پراکندگی از سطح این ذرات شد، که قسمت حقیقی گذردهی این لایه می‎تواند کم مثبت یا منفی باشد و باعث خنثی شدن دو قطبی پراکندگی از یک ذره و نامرئی شدن آن ذره شود. این پدیده بر پایه خنثی شدن جمله های دو قطبی تابشی الکتریکی و مغناطیسی از یک ذره کروی یا استوانه ای رسانا می باشد. اگر چند ذره با پوشش پلاسمونیک کنار هم قرار دهیم اثر نامرئی سازی مانند تک ذره دیده می‎شود. در این حالت برای تک تک ذره ها نامرئی سازی رخ می‎دهد و از جفت شدگی بین ذره ها صرف نظر می‎شود ]۵۲[. اندازه تک ذره های سیستم در محدوده کوچکتر از طول موج برخوردی است.
از ایده نامرئی سازی شدن سیستم چند ذره ای برای ساخت بلور فوتونی دوبعدی متشکل از استوانه های نامحدود دی‎الکتریک با پوشش فراماده در یک شبکه مربعی استفاده کرده‎ایم و نمودار انتشار را برای این بلور فوتونی از طریق نرم افزار متمتیکا رسم کرده ایم. طیف عبوری یک، احتمال نامرئی شدن در این بلور فوتونی را نشان می‎دهد.
به عنوان یک نمونه، نمودار حاصل از ترکیب دو ذره کروی با هندسه کاملا یکسان را تحلیل می‎کنیم.
کره ها دارای شعاع (طول موج زمینه با فرکانس ) هستند و توسط یک لایه با گذردهی الکتریکی و تراوایی مغناطیسی با شعاع پوشیده شده اند. همانگونه که در نمودار زیر پیداست، هنگامی که یک ذره کروی با این مشخصات در نظر بگیریم، سطح مقطع پراکندگی کل در فرکانس به اندازه ۲/۹۹% کاهش پیدا می‎کند. این موضوع از آن جهت که نشان دهنده بهترین شرایط برای شفافیت است، بسیار جالب است. تحت این شرایط، موج برخوردی نمی‎تواند از جسمی که اندازه آن متناسب با طول موج برخوردی است عبور کند. بنابراین پوشش قرار داده شده منجر می‎شود که انرژی اطراف ذره کروی تغیر جهت دهد. در این صورت فضای خارجی تحت تاثیر ذره و پوشش آن قرار نگرفته است.
شکل(۲-۱۱). بیشترین مقدار ^[۴۹] در الگوی سطح مقطع پراکندگی، برای یک سیستم شامل دو ذره
کروی
شعاع هرکدام از انها و پوشیده شده با لایه ای با ساختار و و و و است. خط سیاه مربوط به قطبش عمودی از میدان الکتریکی فرودی و خط قرمز مربوط به قطبش افقی است. منظور از قطبش افقی و عمودی، بردار میدان الکتریکی موج تابشی عمود یا موازی با زنجیره ذرات کروی است. خط چین ها مربوط به حالت بدون پوشش است. a) کره ها نزدیک به هم با فاصله به اندازه ، b) پوشش کره ها با هم مماس است، c) کره های داخلی با هم مماس هستند و پوشش ها با هم تداخل دارند. d) هم پوشش ها و هم کره های داخلی با هم تداخل دارند]۵۲[.
شکل (۲-۱۱) بیشترین مقدار برای سطح مقطع پراکندگی ۳ بعدی، به عنوان تابعی از فرکانس در محدوده بین و ( برای حالت های با پوشش و بدون پوشش) با فاصله های مختلف بین کره ها، رسم شده است. قطبش خطی حاصل از موج تخت فرودی با میدان الکتریکی عمودی^[۵۰] (بالاترین خط روی محور عمودی) یا موازی^[۵۱] (دومین خط روی محور عمودی نمودار) است. خط سوم روی محور عمودی نمودار، مربوط به حالت با پوشش برای یک ذره کروی است. این نمودارها نشان می‎دهد که بهترین حالت هنگامی رخ می‎دهد که دو ذره کروی کاملا از هم جدا هستند (شکل a). کاهش بیشترین مقدار مربوط به سطح مقطع پراکندگی در شکل a) برای هر دو قطبش در فرکانس یکسان اتفاق افتاده است. و پدیده شفافیت برای سیستم دو ذره ای کروی شبیه حالت تک ذره است و نشان می‎دهد که چند ذره ای شدن سیستم تاثیر زیادی روی پدیده شفافیت نداشته است. شکل b) نشان می‎دهد که با حرکت ذره های کروی پوشش‎دار به سمت یکدیگر، تا زمانی که کره های داخلی با هم تداخلی ندارند، پدیده شفافیت برای سیستم دو ذره ای شبیه حالت تک ذره ای است. در شکل c) هنگامی که پوشش های دو ذره کروی با هم تداخل پیدا کرده اند ولی هسته های کروی با هم مماس هستند، قطبش عمودی تحت تاثیر این تداخل قرار نگرفته است. ولی برای قطبش افقی، پدیده شفافیت حاصل از سیستم دو ذره ای در فرکانس پایین تری صورت گرفته است. همانگونه که مشاهده می‎شود، تغیرات فاصله بین دو پوشش کروی روی قطبش افقی بیشتر از قطبش عمودی اثر می‎گذارد زیرا در این حالت قطبش میدان الکتریکی یک ذره دوقلوی بزرگ را مشاهده می‎کند. ولی با این حال، هنوز پوشش پلاسمونی منجر به کاهش شدید سطح مقطع پراکندگی شده است. در سیستم دو ذره ای همانگونه که در مورد تک ذره گفته شد، کنسل شدن دو قطبی های تابشی الکتریکی و مغناطیسی منجر به کاهش شدید پراکندگی می‎شود. در شکل (d) دو ذره کروی مانند یک ذره شده اند و نیمی از کره ها در یکدیگر فرو رفته اند. در این شکل نیز سطح مقطع پراکندگی در اطراف به شدت کاهش پیدا کرده است و مکان این مینیمم برای دو قطبش افقی و عمودی مشخص است.
فصل سوم
خواص اپتیکی بلورهای فوتونی
فصل سوم در این پایان نامه به دو بخش تقسیم می گردد. بخش اول به خواص بلورهای فوتونی، منطقه اول بریلوئن، در شبکه بلورهای فوتونی یک بعدی و دوبعدی مربعی پرداخته ایم. در ادامه تئوری بلاخ و اثبات آن، امواج بلاخ و ناحیه بریلوئن، مدهای ویژه بلور فوتونی و بردارهای موج مساله ویژه مقداری در دو و سه بعد، منشاّ باند گاف و ساختار باند در بلور های فوتونی یک بعدی و دو بعدی مربعی، بیان شده است. در بخش دوم این فصل به بیان روش بسط موج تخت و تئوری ریاضی مربوط به این قسمت، برای مطالعه بر روی ساختارهای دارای باندگاف فوتونی^[۵۲] و محاسبات عددی طیف عبوری بلورهای فوتونی، به تقصیل بیان گردیده است.
۳-۱ خواص بلورهای فوتونی
۳-۱-۱ شبکه بلور فوتونی^[۵۳]:
یک بلور فوتونی از یک قطعه پایه (سلول واحد) که به صورت نامتناهی و متناوب در فضا تکرار می‎گردد، ساخته می‎شود. آرایش فضایی سلول واحد، یک شبکه است. هر شبکه به وسیله بردارهای مستقیم شبکه^[۵۴]پدید آمده است]۵۳[. برای هر شبکه یک شبکه وارون)عکس) وجود دارد.و بردارهای بسیط(پایه) شبکه وارون^[۵۵] هستند. همزمان با مجموعه بردارهای مستقیم شبکه، یعنی ، ومجموعه متناظر و از بردارهای وارون به وسیله رابطه زیر تعریف می‎شود:
(۳-۱)
(۳-۲)
بردارهای انتقال شبکه وارون می‎توانند توسط بردارهای بسیط زیر تولید شوند:
و و (۳-۳)
که حجم سلول واحد ابتدایی شبکه بلور است. سلول ابتدایی فضای وارون دارای حجم که با به صورت رابطه دارد.
(۳-۴)
بردار انتقال شبکه وارون^[۵۶] به شکل زیر تعریف می‎شود.
(۳-۵)
L,k,h اعداد صحیح هستند.
شکل (۳-۱). شبکه های بلور و وارون در حالت یک بعدی]۳۶[..
بردار b به طول a/ л ۲ بردار پایه در شبکه وارون است. کوتاهترین بردارهای شبکه وارون که از مبداء رسم شده اند عبارتند ازb , -b . عمود منصف این بردارها مرزهای منطقه اول بریلوئن را تشکیل می دهند. مرزها در a / л ±= kواقعند ]۳۶[.
۳-۱-۲ طریقه رسم منطقه اول بریلوئن^[۵۷] یک شبکه:
ابتدا در شبکه وارون بردارهایی را از مبداّ به نقاط مجاور رسم می کنیم سپس عمود منصف این بردارها را رسم می کنیم.کوچکترین حجم محصور، منطقه اول بریلوئن است. با توجه به تعریف می‎بینیم که شبکه بلور و شبکه های وارون، معکوس یکدیگرند. بردارهای شبکه دارای بعد طول (L) هستند در حالی که بردارهای وارون، بعد معکوس طول () دارند.بیشتر مطالعات دو بعدی روی شبکه های مربعی و مثلثی است.
شکل (۳-۲). شبکه وارون مربعی]۳۶[.
بردارهای شبکه وارون که با خطوط سیاه رسم شده اند . خطوط سفید عمود منصف‎های بردارهای شبکه وارونند. مربع مرکزی معرف کوچکترین حجمی حول مبدا است که کاملا توسط خطوط سفید محصور شده است. این مربع، یاخته بسیط( واحد)^[۵۸] ویگنر- سایتس شبکه وارون است. این یاخته را منطقه اول بریلوئن می نامند ]۳۶[.
شکل(۳-۳). ناحیه بریلوئن اول در یک شبکه مربعی]۳۶[.
در شکل(۳-۳) اولین منطقه تقسیم‎ناپذیر بریلوئن با نقاطی دارای تقارن بالا به صورت مثلث نشان داده شده اند. بردارهای مستقیم شبکه مربعی به صورت زیر است.
و (۳-۶)
هستند که a ثابت شبکه می‎باشد و بردارهای معکوس به صورت زیر هستند.
و (۳-۷)
نقاط متقارن منطقه اولین بریلوئن دارای مختصات و X= و M=( هستند.
در شکل(۳-۴) اولین منطقه تقسیم ناپذیر بریلوئن با نقاط ابر متقارن توسط مثلث خاکستری نشان داده شده است.
شکل(۳-۴). ناحیه بریلوئن اول دریک شبکه ملثی]۳۶[.
بردارهای مستقیم شبکه مثلثی به صورت زیر تعریف می‎شوند:
و (۳-۸)